李理论、量子群及其表示理论

    分别在Cartan型模李代数模表示论、Toroidal-Virasoro李代数齐次顶点表示统一构造、Leibniz代数循环同调论、Cartan型q-李代数新理论的建立以及量子仿射空间上非交换几何理论的构建、双参数量子（仿射）群的系列新结构的发现与（顶点）表示构造、特征0和特征p域上无限维及有限维Cartan型李代数（作为李双代数）的量子化理论（Hopf代数理论）等诸多不同领域方面取得创新性研究成果‚ 受到国际同行专家的肯定和好评（据不完全统计‚目前在美国数学会MathSciNet、美国数学会会议论文集出版物、SCI引用数据库、arXiv eprint.org及Google scholar搜索引擎上统计出的论文他引次数在85次以上‚不含国内一般核心刊物的引用）。

  曾获得德国洪堡基金会的支持‚ 在德国汉堡大学师从国际模单李代数分类学权威数学家H. Strade教授做洪堡学者客座研究 (1995-1996)；分别应邀在法国Strasbourg一大法国CNRS的 IRMA 数学所（2000-2001）、加拿大约克大学数学与统计学系（2003-2004）访问合作研究、讲学（给York大学Atkinson学院78名本科生上《Linear Algebras and Applications》）各1年；受到联合国科教文组织的支持‚ 应邀在意大利国际理论物理中心ICTP的数学所学术访问研究半年；2003年、2007年分别应巴黎高师数学系Rosso教授、斯塔拉斯堡IRMA所Kassel教授的邀请‚以法国客座二级、一级教授身份进行合作研究（各1个月）；2004年12月至2月‚以德国DFG访问教授身份（3个月）‚在汉堡大学合作访问国际著名的模单李代数分类猜想的最终解决者Strade教授；2009年10月18---31日‚ 在韩国国家数学科学研究所 NIMS 应邀参加表示论专题的国际会议、应邀作大会报告‚并作短期学术访问。

   曾先后获得第七届上海市高校优秀青年教师荣誉称号（1999年9月）；教育部第八届“霍英东青年教师奖”研究类二等奖（2000年12月）；教育部第三届“高校青年教师奖”（2001年）（即教育部优秀青年教师教学科研奖励计划---与教育部跨世纪人才计划同属教育部高层次创造性人才培养计划第二层次）；获教育部首批“高校优秀骨干教师奖”（2002年12月）等。  

    于2000年和2005年分别入选上海市青年科技启明星计划和追踪计划、2次获得国家自然科学基金《李群李代数及其表示论》重点项目支持、2005年主持教育部博士点基金1项；2007年与美国北卡州立大学量子代数专家景乃桓教授合作‚ 获得国家自然科学基金海外优秀青年合作研究基金（即杰出青年基金B类）支持；2009年获得国家自然科学基金委面上项目《李代数量子化与双参数量子群的结构与表示》（主持）‚2009年获得教育部博士点基金项目《李代数的量子化理论和模李代数的几何表示论》（主持）。 

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【一些重要会议的大会邀请报告】

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（1）2007年7月‚ 胡乃红教授作为Invited speakers之一参加在法国巴黎高师（l´ENS de Paris‚ Ulm）举办的《3rd Sino-French Collaboration Mathematical Conference》会议‚ 并作 1 小时大会报告。

（2）2008年10月‚ 胡乃红教授应邀在《第十一届全国代数会议》（湖南张家界）作 1 小时大会报告。

（3）2009年10月‚ 胡乃红教授应邀作为Invited speakers之一‚ 在韩国国家数学科学研究所举办的表示论国际会议作 50 分钟大会邀请报告 ---【2009 Special Program on Representation Theory‚ NIMS‚ Korea】  International Workshop on Lie Algebras and Related Topics‚（= National Institute for Mathematical Sciences)‚ Daejeon‚ Korea‚ October 19-22‚ 2009‚ Organized by S.-J. Kang‚ J.-H. Hwon‚ Y.-T. Oh‚ and NIMS. NIMS http://www.nims.re.kr/conference/repn/

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【研究纪事】

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[Diverse 1] 胡乃红-王秀玲关于《Cartan型单李代数量子化》研究课题中所得到的新量子群结构（---这是自1985年量子群诞生于数学物理学以来‚ 数学界20余年来未有答案的开问题)‚ 最近引起了法国（巴黎）高等科学研究院IHES的著名数学物理学家Dirk Kreimer教授在量子场论(QFT)中的进一步兴趣。 

  D. Kreimer在2009年捷克布拉格举办的第16届国际数学物理大会的量子场论的专题学术报告---《Three Etudes in QFT》(《量子场论中的三个研究新成果》)中‚ 第一个就介绍了胡乃红-王秀玲的这项工作 (他以量子场论的语言重新表述了我们的结果‚ 并且他进一步提到：他(在这篇会议论文中)未来得及展开的物理含义‚ 需要进一步用到我们给出的Drinfeld Twists以及我们所得到的Cartan型李代数的量子包络代数！“As direct consequence‚ we have Drinfeld twists and quantized universal enveloping algebras [ref.---paper of Hu and Wang‚ J. Algebra 312 (2007)‚ 902---929] available for further study.”).

  D. Kreimer教授是重量级的数学家‚ 是IHES的菲尔兹奖获得者Alain Connes教授的合作者‚其代表性工作之一是著名的Connes-Kreimer renormalization Hopf algebra及Connes-Kreimer quantization‚ 著有《Knots and Feynman Diagrams》（Cambridge Uni. Press‚ 2000）‚ 同时也是美国波士顿大学物理系和数学物理中心的joint professor‚ 著名的数学物理学家、QFT专家。他担任3家著名数学杂志: Comm. In Number Theory and Physics‚ J. Noncommutative Geometry‚ Lett. Math. Phys的编委‚ 其中前2个杂志的主编都是菲尔兹奖得主‚而第一个杂志有4个菲尔兹奖得主任主编。

 

Dirk Kreimer‚ 《Three Etudes in QFT》 (IHES‚ Bures-sur-Yvette). IHES-P-09-45‚ Sep 2009. 6pp.
Contributed to 16th International Congress on Mathematical Physics (ICMP 2009)‚ Prague‚ Czech Republic‚ 3-8 Aug 2009. e-Print: arXiv:0909.4424 [hep-th]。This article is a write-up of an invited contribution to the 16th ICMP‚ 2009‚ Prague.

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[Diverse 2] 2009年10月被JGP (J. Geom. Phys.)接受的论文：“Convex PBW-type Lyndon basis and restricted two-parameter quantum groups of type B” (joint with X.L. Wang)‚ 量子群和 Hopf 代数领域的国际同行专家给出以下评价意见：

“The paper under review is part of the systematic study of the 2-parameter quantum groups U_{r‚s}(g)‚ ... The authors solve the main problems in the type B case‚ ..They derive a number of important consequences from their study‚ ...”

   "Summarizing‚ this is solid and interesting paper‚ containing important contributions to the recent area of 2-parameter quantum groups. I would recommend publication in JGP."

 “总之‚这是一篇坚实而有趣的论文‚ 包含了对双参数量子群这一新领域的多个重要贡献。”

  

    此文最近已被美国著名代数学家Benkart及其合作者Pereira‚ Witherspoon‚ 在其新作：“Yetter-Drinfeld modules under cocycle twists”‚ J. Algebra 323 (11) (2010) 中3处用到我们的两条定理的结论‚去证明得到她们关于A型双参数Lusztig"小"量子群的分类新结果。

 

[JGP是发表：代数与微分拓扑、代数几何、实复微分几何、辛几何、流形上整体分析、李群李代数、量子群、非交换拓扑与几何、几何控制论、统计与概率中的几何方法、动力系统、可积系统、量子场论与弦论等综合类刊物‚由意大利科学院主办。

90年代曾有很多著名的量子群文献刊于JGP]。

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[Diverse 3]  胡乃红与Marc Rosso、张红莲合作‚首次展开了对双参数仿射型量子群结构理论与其顶点表示论的系列研究‚此项研究填补了国际该领域的研究空白‚得到了新的仿射型量子群结构的公理化定义与双参数顶点表示的统一构建、做出了“双参数Drinfeld实现猜想之形式”及生成函数的公理化定义、首次提出“仿射型Lyndon基”的概念和明确构造（此基优于Beck在单参数仿射型基的构造）。代表作之一见Comm. Math. Phys.278(2) (2008)‚ 453--486‚ Impact Factor of CMP: 2.075. 最近德国Bonn大学量子群表示论（范畴化）著名青年数学家C. Stroppel(量子群“模”表示的Lusztig猜想[p充分大时]解决者、著名表示论专家Wolfgang Soergel教授的高足）‚在其69页的合作论文Adv. Math (2010)[doi:10.1016/j.aim.2010.02.021]: The \hat sl(n)-WZW Fusion Ring: a combinatorial construction and a realization as quotient of quantum cohomology中明确指出：我们所构造的仿射型Lyndon基就是当前国际研究热门的单项式基monomial bases (而单项式基在原有的理论中并非有一个很明晰的构造)。 
  胡乃红及其研究组近5年来‚在双参数量子群结构和表示论方面的系列工作（包含了十余篇论文）‚近几年来分别得到国际著名量子群专家：Benkart‚ Witherspoon‚ Andruskiewich‚ Radford‚ Schneider‚ Khachenko‚ Korff‚ Stroppel‚ Heckenbeger‚ Jing‚ Pereira‚ Garcia‚ Burciu等十余位同行的多次引用。

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[Diverse 4]  Bergeron-郜云-胡乃红 （J. Algebra 301 (2006)‚ 378--405）关于classical型的双参数量子群的Lusztig对称性的同构定理‚最近被量子群与非交换几何著名青年数学家Heckeberger在文J. Algebra 323 (2010)‚ 2130--2182: Lusztig isomorphisms for Drinfeld doubles of bosonizations of Nichols algebras of diagonal type)中推广到多参数量子群的情形‚首次得到了最近对于有限维pointed Hopf algebras的分类工作极为重要的抽象概念---“Weyl groupoid”的具体实现模型。而后者是Heckeberger 于2006年发表在国际2个重量级数学杂志之一的 Invent. Math. 164 (1)(2006)‚ 175--188 上的论文：Weyl groupoid of a Nichols algebra of diagonal type中对于Nichols代数分类极为关键的数学概念。

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[Diverse 5] 胡乃红于90年代末提出并研究的"q-Lie Algebras"(一种关于李代数量子化的新代数结构)‚引发了最近 6 年来欧美3个研究组（瑞典、法国、美国）对"Hom-Lie Algebras"的热门研究‚最近后者又引发了“Hom-量子群”、“Hom 杨-Baxter方程”的系列新研究。胡乃红关于“q-Lie algebras”的工作因而被美国同行Donald Yau在其多篇论文中称为是“Hom-Lie Algebras”的“更早期的工作”（"Earlier precursors of Hom-Lie algebras can be found in Hu´s paper （Algebra Colloquium 6 (1) (1999)‚ 51--70） ..."---见 Yau‚ Donald‚ The Hom-Yang-Baxter equation‚ Hom-Lie algebras‚ and quasi-triangular bialgebras. J. Phys. A 42 (2009)‚ no. 16。

  法国数学家A. Makhlouf和俄罗斯裔瑞典数学家S. Silvestrov (“Hom-Lie algebras理论”的提出者之一)在其30多页的合作论文arXiv:0811.0400: Hom-algebras and Hom-coalgebras中4处2大段地引述和评论我们关于q-Lie algebra所做的工作对于进一步研究Hom-Lie algebras等相应理论工作的启发意义：如该文第2页：“Also‚ in this connection it may be appropriate to mention that in Hu´s paper [ibid.]‚ for so called their q-Lie algebras‚ which are a special subclass of Hom-Lie algebras‚ a universal enveloping algebra has been defined‚ Poincare-Birkhoff-Witt basis was constructed and corresponding Poincare-Birkhoff-Witt type theorem has been proved in detail using the reduction system technique of Bergeman´s Diamond Lemm. It is important challenging problem to develop further the proper notion and theory of universal enveloping algebras for general Hom-algebras and for general quasi-Hom-Lie and Quasi-Lie algebras. ...”；又如其论文的第15页的Remark 3.14更是用了一页A4纸的页面引用了我的论文中举出的q-Lie algebras的例子（如q-Witt algebra和在理论物理中极为重要的代数对象---Virasoro algebra的量子化：q-Virasoro algebra作为q-Witt代数的“量子普遍中心扩张”结构被确定 [即同时确定了其平凡系数的2-上同调群是1维的！]）‚旨在说明这些也是后来他们提出的Hom-Lie algebras的例子。 

     [ 最近此文Algebra Colloquium 6 (1) (1999)‚ 51--70的国外引用率达25次以上（见Google scholar搜索引擎）]

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[Diverse 6]  胡乃红的论文J. Algebra 232 (2) (2000)‚ 507--540中首次引进“量子除幂”代数‚并引进其上的q-微分算子‚将A型量子群的Lusztig意义下的量子根向量实现为量子除幂代数上的q-微分算子表示‚从而为单位根处的A型Lusztig意义下的小量子群结构‚在限制型量子除幂代数的各分次空间中找到一些单模结构的具体实现模型（小量子群的单模结构很复杂‚人们对其了解还很不完全‚所涉及的Lusztig关于其特征标公式的猜想还未解决。实际上‚我国著名的表示论专家席南华院士也关注并做过如辛型的某些单模结构的具体实现问题）。另一方面‚由于本文引进了新的量子微分算子‚其间的关系(skew-derivations and related automorphisms)‚使我们由此首次观察到并发现了：Abelian李代数的量子包洛代数---这种新的量子群结构的存在（这是自量子群1985年诞生于《统计力学和二维量子场论的杨政宁-Baxter方程求解理论》以来‚除了半单李代数和仿射型Kac-Moody代数及李超代数的量子包络代数外‚所未知的新结构）。这种量子群结构使本人进一步在文Algebra Colloquium 11 (4) (2004)中继续获得---广义Taft Hopf代数的新量子群结构（在单位根处）。Taft代数是70年代美国数学家Taft (曾任美国《代数通讯》的主编) 发表在美国科学院院刊PNAS上著名的素幂平方维的新的Hopf代数结构‚90年代被发现在纽结的量子不变量的再构作中起到令人吃惊的作用！---因此‚本文被当时的J. Algebra的referee称为是对Hopf代数和量子群两方面专家都有兴趣的original work.

  最近‚著名俄罗斯数学家A.E. Semikhatov (俄国著名数学家B.L. Feigin的主要合作者之一)‚在处理A型最简单的秩1情形‚即除幂量子平面上的量子sl(2)作用的模结构分解以及量子de Rham复形上的模结构分解问题时‚多处对照引用了我们2000年的工作（见Semikhatov的论文arXiv.0901.1478v2：Quantum-sl(2) action on a divided-power quantum plane at even roots of unity。在该文的第2页‚Semikhatov特别提到：“Divided-power quantum spaces were first considered in [Hu´s paper: J. Algebra 232 (2)]‚ in fact‚ in a greater generality (in an arbitrary number of dimensions‚ correspondingly endowed with an U_q(sl_n) action). Our quantum plane carries a u_q(sl_2) action that makes it a u_q(sl_2)-module algebra (a particular case of the construction in Hu´s paper [op. cit.])”）。

  此外‚美国俄罗斯裔著名数学家V. Ginzburg在Chicago大学指导的博士A. Khare (现在美国加州大学Riverside分校工作)‚在其论文arXiv:math/0701467: The sum of a finite group of weights of a Hopf algebra中的第8页引用了我们发现的2个新量子群的例子‚来算Hopf代数的线性特征标构成的有限群的赋值和问题。

  实际上‚有限维新量子群结构的发现何以如此重要并引人注目‚一个主要的原因是‚1975年著名数学家Kaplansky对Hopf代数的研究当时提出了10个著名问题‚35年来‚伴随着其中一些问题的解决而引领并推动着Hopf代数这个学科的发展进程‚特别是1985年后量子群的出现又极大推动了非交换非余交换Hopf代数结构的发现。时至今日‚Kaplansky的有些问题还未得到解决‚特别是‚素特征域上具有素幂次方维数的有限维Hopf代数的分类问题至今尚未解决。因此‚这个领域依然吸引着诸如俄罗裔的美国著名数学家Etingof (国际数学家大会45分钟报告者) 等重要人物继续在这里耕耘着...（当然他们还做着别的很多东西）。

 

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【人才培养】 

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（1）已培养出站博士后2人（分别为教授和副教授‚ 1人在中科大工作）。

（2）至2010年6月‚ 已培养毕业博士8人：

       2人在南开大学工作【其中1人07年毕业‚09年获得国家自然科学基金委青年基金项目支持】；

      1人在上海大学工作【07年毕业、08年获国家自然科学基金委青年基金项目和上海市青年项目支持】；

      1人在上海师范大学工作；

      1人在江苏大学工作；

      1人在山东理工大学工作；

      1人在湖州师范学院工作并任副教授【先后获得钱江人才计划、浙江省重点项目、浙江省新世纪151人才计划支持】。

（3）至2009年6月‚ 已培养毕业硕士12人。

（4）张红莲博士获得《2008年度上海市优秀博士学位论文成果奖》、《2009年度全国优秀博士论文提名奖》；

   王秀玲博士获得《2009年度上海市优秀博士学位论文成果奖》、2009年任南开大学副教授。

（5）2010年在读博士生3名、在读硕士生10 名。

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【论著目录】

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[1] Cyclic homology of strong smash product algebras‚ (with J. Zhang)‚ Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. [Crelle´s Journal].

[2]  Introduction to co-split Lie bialgebras‚ (with L.M. Xia)‚ Algebra Represent. Theory‚ DOI: 10.1007/s10468-009-9183-0‚ (2010) (to appear).

[3] Leibniz algebras graded by finite root systems‚ (with D. Liu)‚ Algebra Colloq 17:3 (2010), 431--446

[4] Convex PBW-type Lyndon basis and restricted two-parameter quantum groups of type B‚ (with X.L. Wang)‚ arXiv:0812.3343‚ J. Geom. Phys.‚ 60 (2010)‚ 430---453.

[5] Multiparameter quantum groups and quantum shuffles‚ (I)‚  (with Y.F. Pei‚ M. Rosso)‚  in Quantum Affine Algebras‚ Extended Affine Lie Algebras‚ and Their Applications‚ Contemporary Mathematics‚ vol. 506‚ Amer. Math. Soc.‚ Providence‚ RI‚ 2010‚ pp. 145-171. arXiv:0811.0129.

[6] Cosplit Lie superalgebra of type A(m‚n)‚ (in Chinese) (with L.M. Xia)‚ Chin. Ann. Math. 30 A (1) (2009)‚ 127--130. 
[7] Convex PBW-type Lyndon basis and restricted two-parameter quantum groups of type G_2‚ (with X.L. Wang)‚ Pacific J. Math. 241 (2) (2009)‚ 243–273‚arXiv.0811.0209.
[8] Two-parameter quantum affine algebra U_{r‚s}(\widetilde {sl}_n)‚ Drinfeld realization and quantum affine Lyndon basis‚ (with M. Rosso‚ H.L. Zhang)‚ Comm. Math. Phys.‚ 278 (2) (2008)‚ 453—486‚ arXiv:0812.3107.
[9]  A cohomological characterization of Leibniz central extensions of Lie algebras‚ (with Y.F. Pei‚ D. Liu)‚ Proc. Amer. Math. Soc.‚ 136 (2) (2008)‚ 437—447‚ arXiv.math.QA/0605399.
[10] Notes on two-parameter quantum groups‚ (I)‚ (with Y.F. Pei)‚ Sci. in China‚ Ser. A. 51 (6) (2008)‚ 1101--1110‚ arXiv.math.QA/0702298.

[11] Two-parameter quantum groups of exceptional type E-series and convex PBW type basis‚ (with X.T. Bai)‚ Algebra Colloq. 15:4 (2008)‚ 619--636‚ arXiv.math.QA/0605179.
[12] Quantizations of generalized-Witt algebra and of Jacobson-Witt algebra in the modular case‚ (with X.L. Wang)‚ Journal of Algebra 312‚ (2007)‚ 902--929‚ arXiv.math.QA/0602281.
[13] The two-parameter quantum group of exceptional type G_2 and Lusztig´s symmetries‚ (with Q. Shi)‚ Pacific J. Math. Vol. 230 (2)‚ (2007) 327--346‚ arXiv.math.QA/0601444.
[14] Representations of two-parameter quantum orthogonal and symplectic quantum groups‚ (with N. Bergeron‚ Y. Gao)‚ AMS/IP Studies in Advanced Mathematics‚ vol. 39 (2007)‚ 1--21‚ arXiv.math.QA/0510124.
[15] Universal central extensions of the matrix Leibniz superalgebras sl(m‚ n‚ A)‚ (with D. Liu)‚ Comm. Algebra 35‚ (2007)‚ 1814--1823‚ arXiv.math.RT/0610579.
[16] Drinfeld doubles and Lusztig´s symmetries of two-parameter quantum groups‚ (with N. Bergeron‚ Y. Gao)‚ Journal of Algebra 301 (2006)‚ 378--405‚ arXiv.math.RT/0505614.
[17] Leibniz superalgebras and central extensions‚ (with D. Liu)‚ J. Algebra and Its Applications 5 (6) (2006)‚ 765--780‚ arXiv.math.RT/0510546.
[18] Vertex representations for toroidal Lie algebra of type G_2‚ (with D. Liu)‚ J. Pure Applied Algebra 198 (2005)‚ 257--279.
[19] Steinberg unitary Leibniz algebras‚ (with D. Liu)‚ Linear Algebra and its Application‚ 405 (2005)‚ 279--303.
[20] Decompositions of bosonic modules of Lie algebras W_{1+\infty} and W_{1+\infty}(gl_n)‚ (with D. Liu)‚ Chin. Ann. of Math.B:4 (2005)‚ 633--642.
[21] Quasi L_n filiform Lie algebras‚ (with B. Ren)‚ Comm. Algebra 33 (2)‚ (2005)‚ 633--648.
[22] Irreducible representations for Virasoro-toroidal Lie algebras‚ (with L.M. Xia)‚ J. Pure Applied Algebra 194 (2004)‚ 213--237.
[23] The derivation algebras and 2-cocycles of the algebras of q-differential operators‚ (with D. Liu)‚ Comm. Algebra 32(11)‚ (2004)‚ 4387--4413. 
[24] Leibniz central extensions on some infinite-dimensional algebras‚ (with D. Liu)‚ Comm. Algebra 32 (6)‚ (2004)‚ 2385--2405.
[25] Quantum group structure associated to the quantum affine space‚ Algebra Colloq. 11(4)‚ (2004)‚ 483--492.
[26] Realization of quantized algebra of type A as Hopf algebra over quantum space‚ Comm. Algebra 29 (2)‚ (2001) 529---539.
[27] Quantum divided power algebra‚ q-derivatives‚ and some new quantum groups‚ Journal of Algebra 232 (2)‚ (2000)‚ 507---540‚ arXiv:0902.2858.
[28] q-Witt algebra‚ q-Lie algebra‚ q-holomorph structure and representations‚ Algebra Colloq.6 (1)‚ (1999) 51---70‚ arXiv.math/0512526.
[30] On representations of the Witt algebra‚ (with G.Y. Shen)‚ Chin. Sci. Bull. 43 (1)‚ (1998) 189---192.
[31] Graded modules for the Poisson algebras‚ Chin. Ann. Math.17B:4‚ (1996) 515---522.
[32] Irreducible constitutes of graded modules for graded contact Lie algebras of Cartan type‚ Comm. Algebra 22 (14)‚ (1994) 5951---5971.
[33] The graded modules for graded contact Cartan algebras‚ Comm. Algebra 22 (11)‚ (1994) 4475---4497. 
[34] A class of generalized eta functions and string functions of affine Lie algebras‚ Chin. Ann. Math.15A:4‚ (1994) 426—432.
[35]《度量向量空间与典型群引论》（华东师大高年级选修课讲义‚ 与陈志杰合作编译‚ 1999）。

 论文预印本：

[1]   Vertex representations of two-parameter quantum affine algebras U_{r‚s}(\widehat{\frak{g}}): the simply-laced cases‚ (with H.L. Zhang)‚ Preprint 2006—2007.
[2]   Vertex representations of two-parameter quantum affine algebras U_{r‚s}(\widehat{\frak{g}}): the nonsimply-laced cases‚ (with H.L. Zhang)‚ Preprint 2006—2007.
[3]   Lyndon words‚ convex PBW bases and their R-matrices for the two-parameter quantum groups of B_2‚C_2‚D_4 types‚  (manuscript)  2005.
[4]   Quantizations of generalized Cartan type S Lie algebras and of the special algebra S(n‚{1}) in the modular case‚ (with X.L. Wang). Preprint 2006--2009‚ arXiv:0902.2821.
[5]   Realization of U_q(sp_2n) within the q-differential algebra on quantum symplectic space‚ (with J. Zhang)‚ Preprint 2007.
[6]   Notes on two-parameter quantum groups‚ (II)‚ (with Y.F. Pei)‚ Preprint 2008‚ arXiv:0908.1635v1.
[7]   Vertex representations for toroidal Lie algebra of type C ‚ (with L.M. Xia)‚ Preprint 2005.
[8]   Vertex representations for twisted affine Lie algebra of type A_2l^(2)‚ (with L.M. Xia)‚ (submitted)‚ Preprint 2005.
[9] The theory of the Cartan type q-Lie algebras and noncommutative geometry on the Manin’s quantum affine space‚ I (with C. Kassel and H. Strade)‚ Preprint 2001.