(原载《数学教学》2010年第5期)
自然数当然是数系中最基础的部分. 但不管是从人们表达数量的需要, 还是从运算的角度来看, 只有自然数显然是不够的. 于是就出现了分数、小数、无理数等等.
在我国、印度和阿拉伯等古文化比较发达的地区, 在数千年前就已经有了分数的概念. 但分数线的出现是阿拉伯人在12世纪后期所创造, 到13世纪初才由意大利数学家斐波那契(约1170-约1240)介绍到欧洲来. 但现在所用的“分数(fraction)”一词是200多年前, 瑞士数学家欧拉(本刊2007年第8期), 在《通用算术》一书中所首先使用. 下面是分数出现在邮资值上的两个例子, 图1(美国1930年欠资邮票)和图2(英国邮资机戳).
图 1（左）：美国； 图 2（右）：英国
其实, 分数的出现是由于除法运算的需要. 除法运算可以看作求方程px=q (p、q为整数, 且p≠0)的解, 为使方程恒有解, 就必须引进分数概念. 全体分数就构成了有理数系. 有理数在英语中是rational number, 而rational通常的意义是“理性的”, 其英文词根为ratio, 就是比率的意思. 所以, 除法、分数和比具有相同的含义. 在欧洲也曾经用比的符号“:”作为除法的运算符号.
关于小数, 首先是荷兰工程师斯蒂文(Simon Stevin, 1548-1620, 图3)在他制作的利息表中体会到十进小数的优越性, 并主张把十进小数运用到算术计算中去. 不过, 斯蒂文的小数记法比较繁琐, 比如21.357, 他写作 21⊙3①5②7③, 其中每个数后面圈中的数是用来指明它前面数字位置的. 1592年, 瑞士数学家布尔基(Jobst Burgi, 1552-1632)对此作出较大的改进. 他用一个空心小圆圈把整数部分和小数部分隔开, 比如把21.357写成21。357, 这与现代的表示法已经很接近了. 大约过了一年, 一直到1608年德国的克拉维斯(C. Clavius, 1537-1612)在他发表的《代数学》中, 才开始用黑点作为小数点, 这就是现代通行的十进小数记法. 如果整数部分是零, 有时也可以省略不写整数部分, 直接从小数点开始, 如图4中的.01和.50.
图 3（左）：比利时； 图 4（右）：1933年美国邮资机戳
至于无理数的被发现那是很早的事. 公元前500年, 古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)就发现一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(这可能是√2所表示的数, 最早被认识). 此外, 还有圆周率π(本刊2009年第3期), 黄金分割数Φ=(√5+1)/2(本刊2009年第1期), 自然对数的底e(图5左下方部分是e的级数形式)等等这类新数(相对于有理数而言)不断地被发现. 由此引发的数学危机一直延续到19世纪. 1872年, 德国数学家戴德金(Dedekind, J. W. R. 1831-1916, 图6)从连续性的要求出发, 用有理数的“分割”来定义无理数, 并把实数理论建立在严格的科学基础上, 从而结束了无理数被认为“无理”的时代, 也结束了持续2000多年的数学史上的一次大危机.
图 5：罗马尼亚邮资明信片
图 6：民主德国邮票
(点击邮票小图可以显示更清晰大图)
