欧拉与七桥问题——抽象的力量

　　沿着俄罗斯和波兰的边界，有一条很长的布格河。这条河流经俄罗斯古城哥尼斯堡，它是今天俄罗斯西北边境城市加里宁格勒。
　　巴格河穿过哥尼斯堡市。它有两条支流，一条叫做新河，另一条叫做旧河。当两条河流在市中心汇合时，它们就成为主流，称为大河。在新旧河流和大河之间，有一个岛屿区，这是城市的繁荣地区。这座城市分为北、东、南、岛四个区，有七座桥将它们连接起来。
　　人们长时间生活在河流和岛屿上，在七座桥之间穿行。有人问这个问题:你能一次通过所有七座桥，而每座桥只能通过一次吗？这个问题被提出后，许多人对此非常感兴趣，并进行了一个又一个的实验，但是很长一段时间，他们仍然没有解决它。最后，人们不得不向俄罗斯科学院院士欧拉提出这个问题，请他帮忙解决。
　　1737年，欧拉在30岁时接受了“七桥问题”。他心想:试试看。他从中间岛区开始，穿过桥1到达北部区域，从桥2返回岛区，穿过桥4进入东部区域，穿过桥5到达南部区域，然后穿过桥6返回岛区。现在，只有三号桥和七号桥没有通过。显然，从岛区穿过三号桥的唯一方法是先穿过一号桥、二号桥或四号桥，但这三座桥都已经过了。行动失败了。欧拉又换了一种方式:东北岛、南岛、北岛。这种走路方式仍然不可行，因为五号桥还没有通过。欧拉甚至不能尝试几种行走方式，这个问题真的不简单！他计算出行走的方式有很多种，总共有7×6×5×4×3×2×1=5040种。
　　聪明的欧拉终于想出了一个聪明的办法。他用A代表岛屿地区，用B、C和D分别代表北部、东部和西部地区，用弧形或直线段代表七座桥。结果，七座桥的问题变成了图论分支中的一笔问题，也就是说，上面的图形是否可以用一个笔头不重复地画出来。
　　欧拉集中精力研究这个图形，发现中间的每一点都有一条线画到那个点，还有一条线从那个点画出来。也就是说，除了起点和终点，穿过中点的线必须是偶数。就像上图一样，因为它是一条闭合曲线，所以，穿过所有点的直线必须是偶数。在这个图中，有五条线穿过点A，三条线穿过点B、C和D，它们都不是偶数。因此，无论从那一点开始，总有一条线没有画出来，也就是说，有一座桥没有到达。欧拉最终证明了一次走七座桥而不重复它们是不可能的。
　　天才的欧拉只用一步证明就总结了5040种不同的行走方法。从这里我们可以看到数学是多么强大！

芝诺“追乌龟”悖论

论述如下：
　　阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。他和乌龟赛跑，速度为乌龟十倍。乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米。于是，一个新的起点产生了，阿喀琉斯必须继续追。而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！
　　这个论断明显有悖常理， 请分析究竟错在哪里，尝试用学到的极限知识分析说明。