2009 Spring：Harmonic Analysis《调和分析》
上课对象：数学系研究生
教师：袁海荣
上课时间地点：星期一（34）四教213； 星期四（12）四教 217
从3月9日（第四周）开始，时间调整为：星期四（12）闵行四教 217；星期四（34）闵行四教 230
辅导答疑时间：预约。
注意：从2008级开始，所有硕士及博士研究生必须网上选课才能得到成绩！具体请联系研究生教务老师。
教学参考书：
[1] Javier Duoandikoetxea, Fourier Analysis. GSM 29, AMS, 2001.
[2] Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis, An Introduction. Princeton Lectures in Analysis 1, Princeton University Press, 2003.
[3] L. C. Evans, Partial Differential Equations. AMS, 1998.
[4] Serge Alinhac and Patrick Gérard. Pseudo-Differential Operators and Nash-Moser Theorem. AMS, 2007.
教学内容： 调和分析的基本内容及其在偏微分方程中的应用。
1 算子半群理论及其在PDE中的简单应用；
2 线性双曲性方程组
3 Fourier级数与Fourier变换及其基本性质
4 广义函数基础知识
5 极大函数理论，覆盖引理，弱型估计
6 奇异积分算子与椭圆型方程的L^p估计
7 函数空间理论及其应用，Sobolev空间，H^1, BMO
教学进度：
Week 1-3 (12 classes) A 强连续压缩算子半群的Hille-Yosida定理；在二阶自治线性抛物型及双曲型方程初边值问题中的应用；
B 强连续酉算子群的Stone定理；在线性Schrodinger方程中的应用；
C （补充知识） 齐次化原理；对半线性方程的应用。
week 4-5 (8 classes) A T^1上的Fourier分析：Fourier级数的收敛理论；
B R^n上的Fourier分析：L^1, L^2 及广义函数的Fourier变换与逆变换；求和法;
C （补充知识）Fourier分析的应用举例：用Fourier分析方法表示算子半群；Poisson求和公式；Heisenberg不确
定性原理；判断数列均匀分布的Weyl准则。 习题一 (PDF文件)
week 6-7 (6 courses) A Fourier观点下的Sobolev空间 H^s(R^n)及其嵌入定理、迹定理；
B 应用Fourier分析得到先验估计的例；线性自由Schrodinger方程解的衰减估计；一类非线性Schrodinger方程初值问题解的局部存在性；
C 应用Fourier分析求解一般一阶线性常系数双曲型方程组的Cauchy问题。 习题二 (PDF文件)
week 7-8 (6 courses) A Littlewood-Paley分解与Sobolev、Hölder空间的刻画，进一步的性质；
B 复合函数的估计及其在非线性方程中的应用。 习题三 (PDF文件) 习题四 (PDF文件)
week 9 (4 course) A 习题讲解；
B 逼近恒等；弱型不等式与几乎处处收敛性（点态收敛的极大函数法）；
C Marcinkiewicz 插值定理。
week 10 (4 courses) A Hardy-Littlewood 极大函数 及其弱（1，1）型性;逼近恒等的点态收敛与Lebesgue微分定理、Lesbesgue点；
B Calderón--Zygmund分解； 习题 五 (PDF文件)
C 一个加权模不等式。
week 11—12 (6 courses)A 共轭Poisson核及Hilbert变换；
B $1/x$的主值；Hilbert变换是(2,2)型与弱(1,1)型；
C 截断积分及其电台收敛；
D Fourier乘子。
week 12-14 (8 courses) A 齐次核奇异积分算子的例；积分核的Fourier变换；
B 旋转法；
C 偶性核的奇异积分；
D 拟微分算子代数；二阶椭圆型方程的L^p估计。
week 15 (4 courses) A Calderón--Zygmund定理；
B 截断积分及其主值。
week 16 (4 courses) A 广义Calderón--Zygmund奇异积分算子及其向量值推广。
week 17 (4 courses) A $H^1$与BMO空间及相应插值定理
week 18 (4 courses) A John--Nirenberg定理
B 复习
week 19 期末考试
Last updated: Apr. 20, 2009.