(原载《数学教学》2010年第12期)
我们已经介绍过微积分是牛顿和莱布尼茨分别于17世纪下半叶创立的(见本刊2009年第6期、第7期)。 实际上，在他们之前已经有很多这方面的科学积累。下面举几个例子。
早期，阿基米德(287BC-212BC，图1为圣马利诺1982年出版的邮票)，在他的《抛物线求积法》中，用于求抛物线弓形面积所使用的“穷竭法”就相当于现在的计算积分和的方法。 公元263年，中国的刘徽(图2为2002年中国出版的邮票)在他的“割圆术”中用正多边形来逼近圆周，这是现代极限思想的先例。从16世纪到17世纪上半叶， 许多科学家在这方面都有重大的成果。如德国天文学家开普勒(Johannes Kepler, 1571-1630，图3是1971年原民主德国纪念开普勒诞生400周年邮票)在1615年出版的《新空间几何》中给出了92个阿基米德没有计算过的体积问题， 他还研究了酒桶的最佳比例，开普勒在天文研究中曾出现相当于用现代符号
∫0θ sin θ dθ = 1 - cos θ
表示的计算公式。1635年意大利的卡瓦列利(Cavalieri，Francesco Bonaventura，1598-1647)出版了《不可分量几何学》，他将面积的不可分量比作一块布的线， 体积的不可分量比作一册书的各页，而且不可分量的个数是无限的，且没有厚薄与宽窄。意大利的托里拆利(Evangelista Torricelli, 1608-1647， 图4是意大利纪念托里拆利诞生350周年邮票)进一步发展了卡瓦列利的“不可分原理”，提出了许多新定理，如:由直角坐标转换为圆柱坐标的方法; 计算有规则几何图形板状物体重心的定理; 在水平内的以一定速度抛出物体所描绘的抛物线上作切线的问题; 还研究了物体所描绘的抛物线的包络线; 他还测定过抛物线弓形内的面积; 抛物面内的体积以及其他复杂的几何难题。
图 1（左）：圣马利诺； 图 2（中）：中国； 图 3（右）：原民主德国
图 4（左）：意大利(1958)； 图 5（右）：法国(1962)
法国的帕斯卡(Pascal, 1623-1662，图5)在证明体积公式时可以略去高次项(即略去高阶无穷小)。他还认为到很小的弧可以和切线相互代替。 法国的费马(Fermat, 1601-1665，图6)在求极大值极小值方面取得了重大的成果。牛顿的老师巴罗(Barrow, 1630--1677)给出了求曲线切线的一般方法。 还有法国的笛卡尔(Descartes，1596-1650，图7)所创建的解析几何也是创立微积分的必要前奏。
图 6（左）：法国(2001)； 图 7（右）：法国(1996)
牛顿和莱布尼茨伟大的成就，正是在总结归纳前人科学成果的基础上，创立了微分与积分的一般性概念与方法，并指出这两者之间的关系。
(点击邮票小图可以显示更清晰大图)
