(原载《数学教学》2008年第10期)
所谓非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的一类几何体系, 主要有罗巴切夫斯基几何和黎曼几何. 他们与欧几里得几何的主要区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理. 非欧几里得几何的出现从根本上拓广了人们对几何学的认识, 引导人们对几何学基础的深入研究, 而且对于物理学在二十世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了巨大推动作用. 现在, 人们普遍认为宇宙空间更符合非欧几里得几何的结论.
非欧几里得几何的诞生有着许多富有故事性的曲折过程. 首先是历史上好些数学家提出, 欧几里得几何的第五公设 (平行公理: 若一直线与两直线相交, 所构成的两个同侧内角之和小于直角, 则这两直线的延长线一定在那两内角侧相交.) 能不能不作为公设, 而作为定理? 或者说能不能依靠前四个公设来证明第五公设? 因为这个公设从语句上看像是个可以证明的定理. 许多年来, 人们投入了无数的精力, 尝试了各种可能的方法, 但都未能成功. 这就是几何发展史上著名的关于``平行线理论''的研究. 俄罗斯数学家、 喀山大学校长罗巴切夫斯基 Николай Иванович Лобачевский, (1792--1856), 图1和图 2 分别是前苏联 1951 年和 1956 年发行的纪念罗巴切夫斯基的邮票) 从 1815 年起着手研究平行线理论. 开始他也是循着前人的思路, 试图给出对第五公设的证明. 但他很快就发现这条路走不通. 并推理出: ``第五公设不能被证明''的重要结论. 与此同时他创建一个新的平行公理, 即: 通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行. 它与欧几里得几何其他四个公理一起构成新的公理体系, 形成了新的理论, 它也和欧几里得几何一样是完善的、严密的几何学, 被世人称为罗巴切夫斯基几何. 1826 年 2 月 23 日, 罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会议上, 宣读了他的论文: 《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》. 这篇创造性论文的问世, 标志着非欧几里得几何的诞生. 然而, 这一重大成果在公诸于世时, 遭到当时许多传统数学家的冷漠和反对, 甚至遭到匿名者的攻击, 但他仍然继续探索新几何的奥秘. 并于 1829 年, 在《喀山大学通报》发表了题为《几何学原理》的论文. 这篇论文重述了第一篇论文的基本思想, 并作了补充和发展.
历史是最公正的. 直到 1868 年 (罗巴切夫斯基去世后 12 年), 意大利数学家贝特拉米 (Beltrami, 1835--1899) 发表了一篇著名论文《非欧几里得几何解释的尝试》, 证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面 (如拟球曲面) 上实现. 才使长期无人问津的非欧几里得几何获得学术界的普遍注意和深入研究, 罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美.
图 3 是俄罗斯在 1992 年发行的纪念罗巴切夫斯基诞生 200 周年的邮资信封.
(点击邮票小图可以显示更清晰大图)
