勾股定理

郑英元

(原载《数学教学》2007年第10期)

勾股定理是世界数学史上最古老的定理之一. 它是说: 直角三角形的两个直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积 (如图 1 的最右边, 这是 1984 年日本发行的邮票).

若以 a 和 b 分别表示两直角边的长, c 表示斜边的长, 则定理的结论是: a²+b²=c² (图 2 是 1998 年前南斯拉夫马其顿共和国发行的邮票).

这个定理从最简单 3²+4²=5² 开始到一般性阐述 a²+b²=c² 已经有四千多年历史了, 几乎所有的文明古国 (中国、希腊、埃及、印度等等) 都有关于它的记载. 在西方, 说是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯 (Pythagoras, 约公元前 580 年 -- 公元前 500 年) 在大约公元前 550 年发现的 (图 3 和图 4 是 1955 年希腊发行的纪念毕达哥拉斯邮票, 图 5 是 1983 年萨拉里昂发行的邮票, 该画取自梵蒂冈壁画, 表现毕达哥拉斯在讲学).

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明已经失传. 古希腊数学家欧几里得 (Euclid, 公元前 330 -- 公元前 275, 图 6 是 1988 年马尔代夫发行的纪念欧几里得的邮票) 在《几何原本》中给出了一个证明. 并称它为毕达哥拉斯定理.

至今, 在世界上关于勾股定理的证明已有三、五百种, 其中有著名数学家, 也有普通的数学爱好者, 还有一些著名人物, 如画家达·芬奇 (1452 -- 1519, 图 7 是 1981 年塞浦路斯发行的纪念达·芬奇邮票) 和以后当上美国第 20 任总统 的詹姆斯·加菲尔德 (1831 -- 1881). 1876 年, 加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证明, 目前八年级数学教科书上把它作为练习题, 图 8 是 1986 年美国发行的纪念加菲尔德邮票.

在这里应该特别指出, 中国古代对勾股定理的发现也是非常早的. 在《周髀算经》(公元前 100 年) 中讲述商高与周公对话中就提到勾 3 股 4 弦 5. 这段对话是在公元前 1100 年左右的西周时期. 随后在《九章算术》(约在公元 50 至 100 年间) 一书中就有勾股定理的一般性叙述. 我国最早对勾股定理的证明是三国时期的吴国数学家赵爽 (公元 3 世纪). 赵爽创制了一幅``弦图'', 用形数结合的方法, 给出勾股定理证明. 图 9 是 2002 年中国发行的邮资明信片, 其中的邮资图便是赵爽弦图, 左边图中的〈勾股圆方图〉是《周髀算经》中的一部分, 赵爽就是在〈勾股圆方图〉的注释里给出勾股定理证明. 这在现行中学数学教材里都有介绍.

(点击邮票小图可以显示更清晰大图)