(原载《数学教学》2012年第6期)
希尔伯特曲线(图5)是一种能填充满整个平面正方形的分形曲线，它由德国数学家希尔伯特(David Hilbert，1862-1943)于1891年提出。
图 5 (中国澳门，2005)
波兰数学家谢尔宾斯基(W. Sierpinski，1882-1969)于1915年提出一个有趣的例子，它是康托尔集的构思在二维平面的推广。它的操作方法是：先作一个正三角形(图6中的0)，在这个正三角形内， 作4个相同大小的正三角形，如图6中的1那样挖去一个“中心黄三角形”，然后在剩下的3个小红三角形中各又挖去一个“中心黄三角形”(图6中的2)。这里红三角形是剩下的部分， 我们称红三角形为谢尔宾斯基三角形。谢尔宾斯基三角形的局部与整体是自相似的。如果用上面的方法无限地作下去(图6进行了3步)，则谢尔宾斯基三角形的面积越趋近于零， 各个红三角形的周长亦趋近于无限大。
图 6 (中国澳门，2005)
曼德勃罗集合(图7)是曼德勃罗于1979年构造的集合，它被认定为分形几何的标志性图案。它可以帮助我们更好地理解我们周围那些不规则和粗糙的世界。曼德勃罗集合的放大过程可由方程式: z=z2+c 来实现。它有的地方像日冕，有的地方像燃烧的火焰，只要你计算的点足够多，不管你把图案放大多少倍，都能显示出更加复杂的局部。这些局部既与整体不同， 又有某种相似的地方，这种梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性。为此，曼德勃罗在1988年获得“科学艺术大奖”。曼德勃罗分形几何理论不仅用来理解数学问题，还可以用来描述许多其他领域的事物， 如湍流的波动起伏、地质活动、行星轨道、动物群体行为、社会经济学模式等等，甚至音乐也可以通过图形来表达。图7小型张中的邮票是朱利亚分形图。
图 7 (中国澳门小型张，2006)
现在已经有很多分形几何的例子，如图8(正票图形是附票图形的某个局部)。有兴趣的读者还可以从专门的分形几何书籍，或者网上查阅到更多的例子。如果再对分形几何图形着上各种色彩， 那将格外漂亮。这正是数学与艺术的完美结合。
图 8 (以色列，1997)
(点击邮票小图可以显示更清晰大图)
