(原载《数学教学》2012年第4期)
什么是分形几何(fractal geometr)?至今还没有一个很确切的定义。
首先“分形”(fractal)一词是美国数学家曼德勃罗(Benoit B. Mandelbrot, 1924-2010)于1975年根据拉丁文构造出来的, 其原意是不规则、支离破碎等意义。 作为一个学科的分形几何学从此诞生了。它是以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的, 所以分形几何建立以后, 很快就引起学科界的关注。 又由于分形几何所研究的空间的维数不一定是整数, 这也是几何学的一个新突破。
所谓分形一般是指可以将某一图形分成数个部分, 且每一部分都是它整体尺寸的缩小形状, 这个性质称为自相似。以图1的分形树来说: 一个树杆有两个分叉(0); 每一个分叉可以作为树杆, 它又有两个分叉(1); 同样每一个分叉又作为树杆, 那么它又有两个分叉(2); 由此不断作下去, 就得到一个分形树的图像。 它的每一个局部, 都是整体形象的缩小, 而且与整体自相似。
图 1(中国澳门, 2005)
实际上, 在曼德勃罗提出“分形”的概念之前, 在数学界已经有很多这类“自相似”的分形图形的例子。如:
德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm, 1815-1897)于1872年给出一个处处连续但处处不可微的例子, 它的构造方法符合现在所说分形概念。
1883年德国数学家康托尔(Georg Cantor, 1845-1918)给出一种点集(图2): 一条直线, 三等分后舍去中间一段。对余下的两段同样三等分后舍去中间一段。无限反复上述工作, 得到我们现在称之为的康托尔集。它是测度为0的不可列点集。容易看到它是自相似的图形。
图 2(左，中国澳门，2005)；图 3(右，中国澳门，2000)
瑞典数学家科赫(Helge von Koch, 1870-1924)于1904年也提出一个处处连续但处处不可微的例子。其构造方法是: 在一条直线段(图3中0)上作三等分, 取中间一段为底作向上正三角形, 删去这个正三角形的底边, 这时直线段变成由4条小直线段连结而成的折线(图3中1), 对每条小直线段作三等分, 取中间一段再作向外的正三角形(图3中2), 继续上述工作得图3中3, 无限进行下去, 就得到一个处处连续但处处不可微的例子。如果对某一正三角形的每一边, 都按照上述方法操作, 则得到一个雪花图案, 也称为科赫雪花(图4是科赫雪花的绘制过程)。(待续)
图 4(瑞典小本票, 2000)
(点击邮票小图可以显示更清晰大图)
