自从我2003年到华东师范大学工作以来，一晃22年过去了。2024年6月份我在闵行校区遇到了汪志鸣教授，他建议我写一篇短文简要介绍一下我自己的学术成长之路。 我怀着忐忑不安的心情接受了邀请。我认为我只是一个在数学研究的道路上不断追求梦想的人，并没有取得什么令人耀眼的数学成就。我将从几个方面介绍我自己的学术成长之路。
1963年3月，我出生于河南省武陟县嘉应观乡大刘庄村的一个普通农户家中，著名的嘉应观古建筑群就在大刘庄村旁不远处。嘉应观是清朝雍正皇帝于1723年下诏仿照北京故宫建造的一座规模宏大、集宫庙衙三位一体的黄淮诸河龙王庙，是名副其实的万里黄河第一龙王庙，历经300年，至今保存完好。
由于家境贫寒，我父母都没有接受过正规的学校教育。1979年，我从家乡的二铺营高中毕业，考入新乡师范学院数学系（今河南师范大学），有幸成为了文革后恢复高考制度后的第三届大学生中的一员。当时文革刚刚结束，国家的各项事业都呈现出蒸蒸日上的景象，尽管大多数人还很贫穷，但人们对未来充满了希望。
上大学后，我梦想有一天自己能成为一名像陈景润那样的数学家，为数学研究贡献自己的一份力量，为国家和民族增光。那时的我，因年少气盛，大大低估了数学研究的艰深与挑战。在课余时间我经常到学校的图书馆借阅英文专著进行阅读，这些书籍涉及复变函数、泛函分析、数论、组合论、偏微分方程及拓扑学等等。缺乏坚实的数学基础和名师的指导，这些书籍对我来说宛如天书，即便是自以为理解的部分，也与真正的内涵相去甚远。 由于一直沉浸在课堂外的数学并花费了太多的精力，我的考试成绩并不拔尖，处于班里的中等程度。读这些课外数学文献的一个收获是我了解到了历史上许多伟大数学家的名字及他们的故事，如 阿贝尔（N. H. Abel）、柯西（A-L. Cauchy）、欧拉（L. Euler）、高斯（C. F. Gauss）、伽罗瓦（E. Galois）、雅克比（C. G. J. Jacobi）、黎曼（G. F. B. Riemann）、克莱因（F. C. Klein）、希尔伯特（D. Hilbert）及费马（P. de Fermat）等等。这些伟大数学家勇攀数学高峰的壮举与精神，照亮了我在数学上求索的道路，激励我不断前行。
理想如光，照亮前路，而现实则似石，磨砺心志。一晃大学四年的学习就要结束了，数学家之梦，终成未竟之志。1983年临近毕业之际，我参加了山东大学的硕士研究生入学考试，希望能跟随潘承洞先生攻读硕士学位，可惜没有成功。工作之后，我又参加了两次硕士生入学考试，仍未成功。1983年7月大学毕业后的我被分配到位于家乡的河南省武陟县北郭高中任数学教师，一年后又被调到圪垱店高中任数学教师。两载光阴，乡村高中，我执鞭高中毕业班，讲授高中数学。1985年8月经大学同窗好友汪明瑾的引荐我被调到了位于河南省新乡市的新乡地区教育学院任教，1986年新乡地区被撤销，将原新乡地区分为新乡和焦作两个部分并实行市管县的模式，这样新乡地区教育学院因此而更名为新乡市教育学院。新乡教育学院主要任务是负责新乡地区初中老师的职业培训和提高，是一所规模较小的成人专科院校。我三试不第，信心受挫，然对数学之热忱，求建树之心，未尝稍减。当时我所在的学校并没有多少数学方面的研究资料,为了克服资料奇缺的困难，我就自费订阅了一些国内影印版的《美国数学月刊》和《数论杂志》等英文期刊进行阅读，每年的费用大概相当于我两个月的薪水。在那段时间，我仿佛置身于浩瀚无垠的大海里，独自一人驾驶着一叶孤舟，任凭风浪的摆布，迷茫而不知所措，也不知终将驶向何方。尽管苦苦求索，但并没有找到适合自己的研究课题。
记得1987年秋的某一天，我前往河南师范大学数学系资料室查阅资料。河南师范大学的前身是始建于1923年的中州大学理科和创建于1951年的平原师范学院，该校数学系资料室有比较齐全的英文数学期刊和数学专著。当我在资料室看到这些数学资料时，有一种久旱逢甘霖的感觉，这些珍贵的资料令我欣喜若狂。我迫不及待地翻阅着这些资料，遇到那些令人眼前一亮的观点或方法，就迫不及待地记录下来。我不知不觉间，浏览到了1983年的《美国数学月刊》，目光突然停留在美国伊利诺斯大学数学系布鲁斯本特 （Bruce C. Berndt）教授撰写的论文，发表在那年该月刊上的拉马努金季度报告（附注[1]）。该论文详尽介绍了拉马努金主定理（Ramanujan’s Master Theorem）及其应用，它是拉马努金去英国留学之前关于数学分析的一项研究工作。
拉马努金主定理（Ramanujan’s Master Theorem）: 假设在\(x=0\)的某个领域内有
\[F(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\phi(k)(-x)^k}{k!}，\]则广义积分\(I=\int_{0}^{\infty}x^{n-1}F(x)dx=\Gamma (n)\phi(-n)\)成立，其中\(\Gamma (n)\)表示伽马函数。反之，如果相应积分值给定，则\(F(x)\)的麦克劳林系数就能被确定。英文描述见附注[2]。
拉马努金主定理是关于广义积分和级数展开的一个定理。该定理表明，在一定条件下，只要知道了一个函数的麦克劳林（Maclaurin）展开，就能得到一个广义积分的值；反之，从关于一个函数的广义积分的值也可以推知该函数的级数展开公式。拉马努金主定理是数学分析中一个极为强大的定理，利用该定理，人们可以比较容易地解决极为困难的积分问题和级数展开问题。仅需要利用一个函数的级数展开就可以确定关于这个函数的一个广义积分的值，这相对于常规的用围道积分和留数定理来计数这个广义积分来讲有极大的便利性。利用拉马努金主定理来求一个函数的幂级数展开和复变函数论中的拉格朗日（J. L. Lagrange）隐函数展开公式有异曲同工之妙。当看到这个定理时，内心不禁为之震撼，激动的心情难以言表，这个定理彻底颠覆了我以往对数学的认知。该定理如同一把钥匙,为我打开了数学世界的新大门，激发了我的数学潜力，引领我找到了自己真正感兴趣的数学课题。
在有幸拜读本特教授这篇深刻的论文之前,斯里尼瓦瑟拉马努金艾扬格（Srinivasa Ramanujan Aiyangar，其中艾扬格是他的姓氏）这个名字当时对我来说还只是一个陌生的符号。从此以后，我才了解到了拉马努金是二十世纪初印度一位自学成才的天才数学家，尽管他的一生只有短暂的32年，他却在数论、无穷级数理论、模函数理论及连分数理论等领域做出了许多革命性的贡献。他留下的数学公式和定理，深刻地影响了现代数学的发展，甚至他临终前发现的一个函数展开公式可以用来解释宇宙黑洞的部分奥秘。他与哈代（G. H. Hardy）和利特尔伍德（J. E. Littlewood）一起开创了解析数论中极为强大的方法-圆法，特别是拉马努金关于模形式理论及分拆函数的工作，为现代模形式理论的研究奠定了基础，这些研究为安德鲁怀尔斯（A. Wiles）最终解决费马大定理提供了关键的理论支持。他身后留下3900个未加证明的数学公式，这些公式主要是关于量子超几何级数及模函数的恒等式，证明这些恒等式有力地推动了数论和组合分析等学科的发展。拉马努金的大多数公式集优雅性和深刻性为一体并且极富启发意义,令无数数学家为之着迷。国际上有不少数学家终生从事拉马努金恒等式的研究。例如，上面提到的本特教授，终生从事编辑拉马努金笔记本的编辑工作,并因此而享誉学术界。还有美国国家科学院院士，宾夕法尼亚州立大学的乔治安德鲁斯(George Andrews)教授，以及已故的美国国家科学院院士，威斯康星大学的理查德阿斯凯（Richard Askey）教授等等。
在拉马努金工作的启发下，我从上世纪80年代末期开始，对量子超几何级数理论、西塔函数恒等式以及广义积分的计算等数学课题进行了深入的探索与研究，至90年代中期，我在这些领域已取得了一定的研究成果。
1996年5月份的一天，我向英国萨塞克斯大学（University of Sussex）数学物理学部的理查德刘易斯（Richard Lewis）博士写信，请求获取他论文的抽印本。他欣然回信，不仅寄来了论文抽印本，还附上了一封信。在信中，他询问我是否在量子超几何级数领域有相关研究成果。我在回信中介绍了自己在\(\theta\)（西塔（Theta））函数恒等式方面的一些研究工作，引起了他的极大兴趣。随后，他很快萌生了邀请我前往英国访问的想法，并向英国皇家学会提交了为我申请奖学金的材料。提交申请后，他写信给曾经担任过英国皇家学会会长（1990-1995）的迈克尔阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士，特别说明了我的情况。阿蒂亚爵士对刘易斯博士的回信说，对来自中国和其它类似东方地区的申请者来说，博士学位其实没那么重要,刘易斯博士在1997年3月24日给我的信中这样写到：“我这儿有些人告诉我说，由于你没有博士学位，你几乎没有什么机会获得皇家学会的奖学金（RS fellowship）。然而，我（指刘易斯博士）写信给英国数学界最重要的人物，曾担任过皇家学会会长（1990-1995）的阿蒂亚爵士。他（指阿蒂亚爵士）告诉我（指刘易斯博士）说：博士学位对于来自中国以及类似地区的学者来说不是太重要。但是他的确强调说皇家学会的奖学金只能资助一年期。他打算了解一下这件事情，看看能做些什么。”（Somebody here told me that, as you do not have a PhD, you would have a little chance of getting a RS fellowship. However, I wrote to Professor Atiyah, who is the most important person in British Mathematics and has been a president of the Royal Society, and he told me that a PhD is not so important for people from China and similar places. However，he does say that RS fellowship are definitely only for one year. He is going to look into the matter and see what can be done）。由于刘易斯博士的巨大努力及阿蒂亚爵士在英国数学界的重要影响，我很幸运地申请到了1998年度的皇家学会奖学金。在1万英镑奖学金的资助下，我于1998年元月至1999年元月在位于英国南部美丽的滨海城市布莱顿（Brighton）的萨塞克斯（Sussex）大学进行了一年的学术访问。访问期间，我与刘易斯博士合作研究了西塔函数恒等式，并联名发表了五篇学术论文,其中论文[3]是我们共同合作研究工作中最为引人入胜的一篇论文。在这篇论文中我们证明了关于量子椭圆函数的留数定理。
英国皇家学会奖学金证书
在英国访问期间我也首次遇到了同样来萨塞克斯大学访问的美国国家科学院院士,宾夕法尼亚州立大学的乔治安德鲁斯教授。安德鲁斯教授是研究量子超几何级数的国际权威,他因1976年在剑桥大学图书馆偶然发现拉马努金遗失的笔记本而在学术界声名鹊起。
1998年作者和Richard Lewis在Arlington
萨塞克斯大学成立于1961年,是一所“小而精”的研究型大学，迄今已经诞生了5位诺贝奖得主和15位英国皇家学会院士。理查德刘易斯博士1942年6月12日出生于英格兰东南部的萨里（Surrey）郡，2007年7月26日逝世于英国伦敦以西百余公里处的阿灵顿（Arlington）。1963年他于牛津大荣耀摘取一等学士学位后，便开始跟随迈克尔阿蒂亚爵士攻读代数拓扑方向的博士学位。1966年10月刘易斯博士因师资匮乏的新兴学府萨塞克斯大学热忱邀请他担任教职，他便决定终止攻读博士学位前往萨塞克斯大学数学物理学院任教。步入上世纪80年代，刘易斯博士的研究兴趣悄然转向数论领域并最终于1991年在萨塞克斯大学获得了博士学位。
值得一提的是刘易斯博士的夫人安妮(Anne)，其正式全名为莉塞特弗林德斯帕特里克（Lisette Flinders Petrie）。她是英国18世纪早期的著名航海家马修弗林德斯船长（Captain Matthew Flinders）的后人。马修弗林德斯船长在1791年至1810年间，三次前往南大洋航行。在1801年，他指挥“调查者号”船进行了环绕澳大利亚大陆的航行,并绘制了第一幅澳大利亚大陆的完整地图。并在1814年出版的“Terra Australis之旅”一书中，提议用“澳大利亚”来命名这块大陆,这一名称被广泛接受并沿用至今。弗林德斯的航海成就为英国在澳大利亚的殖民统治奠定了基础,弗林德斯大学（Flinders University）也以他的姓来命名纪念安妮的祖先马修弗林德斯船长的航海贡献。
1999年11月份我应邀赴位于美国佛罗里达州盖恩斯维尔（Gainesville）市的佛罗里达大学（University of Florida）。参加由嘉顿（Frank G. Garvan）教授和伊斯梅尔（Mourad E. H. Ismail）教授举办的，关于“符号计算、数论、特殊函数、物理和组合数学”（Symbolic computation, number theory, special functions, physics and combinatorics）的学术研讨会，共有45位专家参加这次会议。嘉顿和伊斯梅尔教授为我参加这次会议提供了经济资助。在会议期间，我也得到了华裔数学家沈力健教授的诸多宝贵的帮助。
1999年11月作者和Frank Garvan在Gainesville
会议期间我和来自新加坡国立大学的曾衡发（Chan Heng Huat）教授进行了面对面的，详细的学术交流，我们在诸多数学领域上分享着浓厚的共同兴趣。曾教授年轻有为，当时只有32岁，但已经是研究拉马努金遗留数学问题的知名专家了。事实上，早在1996年，我就曾写信给正在普林斯顿（Princeton）高等研究院从事研究工作的他，从此我们开始了书信往来。曾衡发教授在新加坡国立大学求学期间，便以其卓越的数学天赋吸引了著名数学家让-皮埃尔塞尔（Jean-Pierre Serre）的目光，并得其赏识推荐， 前往美国伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校（University of Illinois Urbana-Champaign），师从本特（Bruce C. Berndt）教授深造，最终在1995年荣获博士学位。2024年，曾衡发教授毅然放弃了新加坡国立大学的教职，转赴山东大学数学国家高层次人才培养中心，开启他的新的学术旅程。
1999年11月作者和曾衡发在Gainesville
2001年曾衡发教授向新加坡国立大学大学申请了一笔总额为9万新加坡元的经费，用于资助我前往该校进行学术访问。从2001年6月21日开始至2003年5月3日结束，我在新加坡度过了将近两年的时间。这期间我和曾教授就我们共同感兴趣的数论问题进行了富有成效的合作。至今我们仍然保持着合作关系，通过合作总共发表了8篇研究论文。我们最早合作发表在2003年第174期的著名英文学术期刊“数学进展”上（[4]），在论文中我们探索了拉马努金三阶椭圆函数理论。最近我们又有新的合作研究，结果发表在国际著名杂志“离散数学”上（[5]）。
2000年10月作者和Ken Ono, Bruce Berndt, Richard Askey及Neville Robbins
在University of Illinois Urbana-Champaign
2001年12月份，在新加坡访问期间，我有幸巧遇当时也在新加坡国立大学数学系访问的谈胜利教授。那时年仅37岁的谈教授，已是我国代数几何领域的佼佼者，他不仅深耕代数几何领域, 更是对数学整体架构有着独到的见解和深刻的认知, 他对人友善, 平易近人。在我向他介绍了我的研究成果与情况后，他表现出了浓厚的兴趣与关注。他对我的研究工作给予了充分肯定并乐意将我推荐给华东师范大学数学系。
2003年5月在谈胜利教授的推荐下，经过数学系学术委员会讨论和学校批准，我有幸加入华东师范大学数学系这个温暖和谐的大家庭,实现了我到研究型大学工作的愿望。
华东师范大学数学系已经在2018年3月更名为华东师范大学数学科学学院。在华东师范大学数学系和数学科学学院工作的20多年时间里，我得到了历任领导和许多同事的支持和关心。在这二十多年的岁月里，我不仅承担着教授本科生课程的重任，还致力于研究生的培养工作，至今已有二十六位博士毕业生在我的悉心指导下顺利获得博士学位。
在这篇稿子的最后一部分，我将简单地介绍一下我在量子数学方面的研究工作。通俗地讲，在数学中量子化或量子模拟是指将一个熟知的数学对象(定理、公式或表达式）以一种特定的方式拓广成一个新的含有参数q的数学对象。因为“quantum”(量子)的第一个字母为 q，所以数学中量子模拟经常被简称为q-模拟。量子模拟往往能导致重要的数学发现，量子模拟能够赋予数学对象更为丰富且深刻的数学结构。
量子模拟最早可以追溯到对超几何级数的量子模拟。19世纪40年代，德国数学家海因里希爱德华海涅（Heinrich Eduard Heine）于1846年和1847年系统地研究了高斯（Carl Friedrich Gauss）超几何级数的量子模拟。高斯超几何级数的量子模拟被称为量子超几何级数，也经常被叫做基本超几何级数或-级数。海涅（H. E. Heine）的核心思想是将普通的数\(a\)用它的量子模拟\([a]_q=(1-q^a)/(1-q)\)来替代。显然当\(q\)趋于1时，则\([a]_q\)趋于\(a\)。当\(a\)取正整数\(n\)时，\([n]_q=1+q+\cdots+q^{n-1}\) ,该多项式被称为量子整数。当前关于量子模拟研究已超越了量子超几何级数的范畴，而量子超几何级数理论依然是量子模拟领域中的核心课题。
从更广泛的意义上来讲，西塔(Theta)函数及模函数也可以被看成特殊的量子超几何级数。海涅的工作引发了19世纪末及20世纪初关于量子超几何级数的第一个研究高潮,这一时期的代表人物是英国数学家伦纳德詹姆斯罗杰斯（Leonard James Rogers）及数学天才斯里尼瓦瑟拉马努金艾扬格（Srinivasa Ramanujan Aiyangar）。特别是拉马努金在量子超几何级数方面的深刻贡献，不仅推动了该领域的发展，还对现代数学产生了深远的影响。 为了叙述的便捷性，我们有必要引入量子升阶乘的记号：
\[(q;q)_n=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)。\]卡尔弗里德里希高斯（Carl Friedrich Gauss）首先引进了Gauss多项式（也称为量子二项式系数）：
\[\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]_q=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}。\]Gauss多项式是关于\(q\)的次数为\(k(n-k)\)次的多项式。当\(q\) 趋于1时，Gauss多项式退化成经典的二项式系数。利用数学归纳法容易证明Gauss二项式定理：
\[(a+b)(a+bq)\cdots(a+bq^{n-1})=\sum_{k=0}^n\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]_q q^{k(k-1)/2}b^ka^{n-k}。\]在量子超几何级数这一领域中，存在着众多深刻且引人入胜的恒等式,其中最为著名的当属Rogers-Ramanujan（罗杰斯-拉马努金）恒等式：
\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5n+1})(1-q^{5n+4})}，\] \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2+n}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5n+2})(1-q^{5n+3})}。\]这两个恒等式及类似的恒等式与数论、组合分析、仿射李代数及顶点算子代数有着密切的联系。澳大利亚物理学家罗德尼詹姆斯巴克斯特（Rodney James Baxter）因发现Rogers-Ramanujan恒等式与统计力学中的硬六边模型的关系而荣获1980年度的波尔茨曼（Boltzmann）奖。
对于给定的函数\(f(x)\)，量子导数的定义为：\(D_qf(x)=(f(x)-f(qx))/(1-q)x\)。此定义最早是由德国数学家利奥波德申德尔（Leopold Schendel）于1878年引进的，但并没有引起当时数学界的重视。英国牧师兼业余数学家弗兰克希尔顿杰克逊（Frank Hilton Jackson）在1908年重新定义了量子导数。杰克逊（F. H. Jackson）曾于1900年来过中国，他是一位极富天赋的数学家。他在量子数学分析方面做了许多奠基性的工作,但由于其研究工作超越了他所处的时代,生前其研究工作并没有得到数学界的充分认可。
对于一个二元函数\(f(x,y)\)，我们用\(\partial_{q,x}f\)表示\(f\)关于变量\(x\)的量子偏导数, \(\partial_{q,y}f\)表示\(f\)关于变量\(y\)的量子偏导数。齐次的Rogers-Szegő（罗杰斯-赛格）多项式\(h_n(x,y\mid q)\)的定义为
\[h_n(x,y\mid q)=\sum_{k=0}^n\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]_q x^k y^{n-k}。\]当\(y=1\)时，齐次的Rogers-Szegő多项式退化成经典的Rogers-Szegő多项式。Rogers-Szegő多项式是一类重要的量子正交多项式，最早是由罗杰斯（Leonard James Rogers）于19世纪90年代提出来的，他用该多项式的性质导出了著名的Rogers-Ramanujan恒等式。20世纪20年代，著名匈牙利数学家加博尔赛格（Gábor Szegő）证明了关于这类多项式的正交关系。然而,无论罗杰斯(L. J. Rogers)还是赛格（G. Szegő）都没有考虑过齐次的Rogers-Szegő多项式。正是对齐次的Rogers-Szegő多项式的研究促成了我在量子偏微分方程方面的工作。
为了发展出一套有效系统,来推导量子超几何级数变换公式的统一方法。大约在2010年，我开始对量子偏微分方程和量子超几何级数的关系进行了探索和研究。这是一条前人未曾涉足的道路，当时数学文献中尚未出现关于量子偏微分方程的研究论文，该术语本身也尚未被定义。
经过几年的探索我取得了初步的研究结果。2012年12月份我应邀参加了在印度德里大学举办的纪念Ramanujan 诞辰125周年纪念大会，我在会议上报告了我关于q-偏微分方程的初步研究结果。 2013年以这次报告内容为基础撰写的论文经过审稿发表在了纪念Ramanujan 诞辰125周年纪念的文集中（参见文献[7]）。在该论文中我证明了如下结果。
定理：如果\(f(x,y)\)是一个在原点解析的二元解析函数而且满足量子偏微分方程\(\partial_{q,x}f=\partial_{q,y}f\)，则\(f(x,y)\)可表示成齐次的Rogers-Szegő多项式\(h_n(x,y\mid q)\)的线性组合。
该定理融合了多元解析函数，量子偏微分方程及量子多项式为一体，是一个全新的数学定理。上述定理极大概括了从19世纪到2013年为止的关于量子超几何级数,数论和组合分析中许多伟大的发现。该定理中量子偏微分方程在量子数学中的作用，与Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）方程在复变函数论中的作用有异曲同工之妙。
2012年12月作者和Richard Askey, George Andrews, Bruce Berndt在印度德里
量子偏微分方程犹如量子数学的天空中升起的一颗闪亮的星星，照亮了量子数学大地。 量子偏微分方程概念的出现使得我们有可能解决量子数学中一些长期悬而未决的问题， 例如量子平移（q-translation）问题。请参考论文[7]。
关于量子偏微分方程的研究是数学领域中的一项从零开始的原创性探索。这项工作已经开始受到一些著名学者的关注，美国数学会会士穆拉德E.H.伊斯梅尔（Mourad E. H. Ismail）教授将这个新数学理论赞誉为刘氏微积分理论（刘氏量子演算理论）。在他的论文[8]中对我的研究工作[7]中提出的方法给出了中肯的评价：“刘以一种非常巧妙且富有创造性的方法运用了他所给出的特征描述来计算级数的和与积分”(Liu…used his characterization in a very clever and creative way to evaluate q-series sums and integrals)。
相较于拥有近300年研究历史的传统偏微分方程，量子偏微分方程的研究尚处于起步阶段，尽管如此,这一领域已展现出强大的生命力和广阔的发展前景。量子偏微分方程仍然是数学研究中一个极具挑战性和具有相当难度的课题。
致谢：陈志杰教授和汪志鸣教授对该文初稿提出了极为详尽的修改意见并提供了文中外国专家姓名的中文译名。雷路丹和徐畅也对文章初稿提出了有益的建议。在此对他们表示衷心感谢！
[1] Berndt, B. C., The Quarterly Reports of S. Ramanujan. The American Mathematical Monthly，90 (1983) 505-516.
[2] Ramanujan’s Master Theorem. Suppose that, in some neighborhood of \(x=0\), \[F(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\phi(k)(-x)^k}{k!}。\] Then \(I=\int_{0}^{\infty}x^{n-1}F(x)dx=\Gamma (n)\phi(-n)\), where \(\Gamma (n)\)denotes the Gamma function. Conversely, if the value of the integral is given, the Maclaurin coefficients of \(F(x)\) can be determined.
[3] Lewis, R. P., Liu, Z.-G, The Borweins' cubic theta functions and q-elliptic functions. In: Garvan, F. G., Ismail, M.E.H. (eds.) Symbolic Computation, Number Theory, Special Functions, Physics and Combinatorics, pp. 133–145. Kluwer Acad. Publ, Dordrecht (2001)
[4] Chan, H. H., Liu, Z. G., Analogues of Jacobi's inversion formula for incomplete elliptic integrals of the first kind. Adv. Math. 174 (2003) 69–88.
[5] Chan, H. H., Chan, S. H., Liu, Z.G., Elementary derivations of the Rogers--Fine identity and other q-series identities, Discrete Mathematics, 348 (5)(2025) 114378.
[6] Liu, Z.-G, On the q-partial differential equations and q-series, In: The Legacy of Srinivasa Ramanujan, Ramanujan Math. Soc. Lect. Notes Ser., vol. 20, Ramanujan Math. Soc., Mysore, India, pp. 213–250”.
[7] Liu, Z.-G., A multiple q-translation formula and its implications, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 39 (2023),2338-2363.
[8] H. Aslan, M. Ismail, A q-Translation Approach to Liu’s Calculus, Annals of Combinatorics, 23(2019) 465–488.
