自 1977 年认识肖刚后, 我和他一同在中国科技大学做了两年的研究生, 后来虽然分赴美国和法国留学, 仍经常通信切磋。肖刚对我一生的影响无疑是非常深刻的。
2014 年 6 月 27 日, 肖刚不幸因病去世。他的朋友们都深表惋惜, 很多人写了纪念文章, 我那时也匆匆写了 4 篇。现在静下心来, 细细地回忆当年与肖刚一起学习的日子。希望读者们能理解, 一个人一生中能有一个好同学是多么的幸运。
历史的火车急转弯的时候, 总是有很多人被甩下去; 但能抓住机遇的人, 却可能跳上车头。
1977 年, 我就得到了一次机遇, 即高考的恢复。那时我已经过了 28 岁, 最宝贵的青春 (从 17 岁到 28 岁) 都消耗在“文化大革命”及后来在苏北农村插队 (近 7 年) 和在南京当工人 (2 年多)。我希望将失去的时间尽可能追回一些, 办法就是直接考研究生。
但是 1977 年全国只有中国科技大学和复旦大学招了研究生, 而且都只是数学系。复旦大学是教育部特别批准了 15 个招生名额, 而中国科技大学是中国科学院特别批准, 最终一共招了 3 名。我有幸得到了参加考试的机会 (那时的信息还很闭塞, 我只是在文汇报上看到复旦大学招研究生的新闻, 而直接给复旦和科大写信都得到回复), 后来几乎同时被科大和复旦录取, 考虑后决定去科大。
我是 11 月进入科大的, 而肖刚 10 月就已经去了, 是“文革”后全国第一个入学的研究生, 我是第二个。我和肖刚的专业都是代数, 导师都是曾肯成先生。还没入学就听说我有一个同学。
我和肖刚都是在苏北农村插队多年, 在农村读了不少书。曾肯成先生感慨地说: “那时我们都不做数学了,没想到你们还在做。”
俗话说“不打不成相识”, 我和肖刚最初的“华山论剑”是彼此出难题。几个回合下来, 都发现对方是很难考倒的, 可谓棋逢对手。从此不免惺惺相惜。但彼此出难题的习惯却长久保持了, 即使在留学期间相互通信也常交换难题, 并且都要作答后寄回。
这样我俩也养成了见难题就做的习惯, 从初等数学到大学本科水平的习题以至更深的习题都做。这习惯与导师也颇有关系: 曾肯成先生是个出难题的专家。
在中学时代我和一些同学喜欢做《数学通报》中的习题, 尤其喜欢“汀汲湘”出的题, 到科大后才知道“汀汲湘”是曾肯成先生的笔名。在华罗庚先生发起的“数学小丛书”中, 本来曾肯成先生也写了一本, 名为《100个数学问题》 (已有出版预告), 但原稿在“文革”中不幸散失。数学小丛书的主编江泽涵先生曾见过原稿, 评价非常高, 后来多次询问我们能否找回原稿, 遗憾的是再也没有找到, 他自己也无法恢复了。江泽涵先生觉得非常可惜。
每次我们去见曾老师, 他总准备着几个习题“招待”我们。一般我俩都要当场作答。一个人遇到大量难题总难免有做不出的时候, 但我俩在一起, 几乎就是无坚不摧了, 记忆中没有一个题将我俩考倒的。
题做多了, 我俩不时也编一些习题。一般是在讨论较深入时发现有趣的不平凡的问题。我们经常的工作方式是: 对问题初步研究提出一个猜想, 然后一个人努力证明, 另一个人则努力举反例。这样无论猜想对错,都可能解决, 解决后就得到一个习题, 一般都是好习题, 也较难。要是最终解决不了, 就记下来。
按这样的工作方式, 我俩经常要互相挑刺、争论甚至挖坑设套, 形式上针锋相对, 结果却常常是联手出题整人。我俩是乐此不疲的。
这里恐怕需要费些文字解释一下, 否则今天的很多读者难以想象我们当时的学习环境。
科大是在“文革”中“下放”到安徽的, 经过芜湖辗转到了合肥, 被“临时”安排了两处校址, 一是原合师院,另一是原银行干校, 都不大, 周围大部分地区是农村, 其他地方也不发达, 算是郊区吧, 离市中心约有 4 公里,公交车很少, 我们进城常是徒步。记得当时为了发一个电报要跑到一公里多远的“南七里站”。今天科大所在地已是很繁华的中心区了, 站在那里很难想象当年的景象。
“下放”多年, 建设很少。就是那么几个旧楼, 其中一个还失过火, 被戏称为“火烧楼”。很多大型设备运去后, 到我们入学时还没有打开, 早已是锈迹斑斑。在今天看来, 当时的条件是很差的。
数学系在原银行干校, 就一个小楼。系里在一楼腾了个房间作为肖刚和我的宿舍, 后来单墫也住在这里。
校外的人随便出入, 有些农民进来做生意, 例如用大米换粮票。有一个疯子经常在附近唱歌和涂鸦。有一回有人到我们房间偷东西, 被我们发现, 他还很凶, 后来扭送到派出所, 也没怎么处理。
我们每人每月的生活费是 36 元, 比我当工人时的工资都高。学校食堂便宜, 也不用交房水电费, 还有地方洗澡。对我们这些插队多年的“知青”, 这样的生活条件是很阔了。
肖刚比较腼腆, 常怕见生人, 遇到要和外人打交道的事往往会推给我。但他对熟人 (尤其是朋友) 却是很热心的。
科大在“文革”中所受到的破坏, 尽管次于北大和清华, 也是很严重的, 所以遗留的问题很多。我们在科大学习时, 还有一些很“左”的人在位, 矛盾并不小, 只是我俩一般可以回避。但一些人欺负曾老师, 我们是义愤填膺的。
团组织通知我、肖刚和一个留校的“工农兵学员” (忘了名字) 组成一个团支部, 我和肖刚商量选那个留校生为支书。第一次支部生活, 我首先提出团章规定 25 岁退团, 有工作需要可延迟到 28 岁退团, 但我已28 岁, 无论如何该退团了, 肖刚说他也过了 25 岁所以也申请退团, 而那个留校生说他也可以退团了。于是我们的第一个决议就是三人同时申请退团, 支部解散。
上学不上课, 恐怕大多数人都觉得荒唐。然而甫入学时, 科大并无适合我俩上的课, 当然更没有专为我俩开课。而我俩乐得不上专业课。
公共课呢? 我的外语需要补, 有老师说学校新开了一门外语课, 水平比较高, 让我去听听试试能否跟得上。去了才知道, 不过是练练“This is”, “I am”之类口语的班, 回来跟肖刚一说他哑然失笑,后来就把“水平比较高”当作一个嘲笑词。当然后来我就不去了。
公共课还有政治, 后来开课时老师通知肖刚、单墫和我参加, 到课堂上一点名没有我们, 为什么? 我们恍然大悟这是为 78 级学生开的政治课, 当然没有我们。我们还是回去等着上 77 级政治课吧, 当然最终也没上。
就这样, 我和肖刚在科大的两年中一堂课也没上。
那么怎么学呢? 主要就是曾老师带着我们开讨论班。除了曾老师和我俩外还有些老师参加。对我来说讨论班完全是新鲜的, 当然毫无经验。不过一开始没有我的报告任务, 就是肖刚一个人准备的报告。
报告的领域是李代数, 主要用的书是万哲先先生写的《李代数》 (被戏称为“万代数”)。我当时不知道为什么要学李代数, 但以前没学过总是应该学的。后来才知道, 这是为学习李型群做准备。
肖刚的报告一开始给我的印象就是胸有成竹。他首先对系列报告做了一个整体的介绍, 说明有哪些具体课题。然后就逐渐展开, 步步深入, 很有条理。曾老师不时提出一些问题, 其他人也会问些问题。我当然一边听一边读书,准备将来自己也能讲。这样的学习效率很高。曾老师对肖刚的讲法有很好的评价。
此后不久, 曾老师指导我俩读 R. Carter 的 Simple Groups of Lie Type (李型单群)。
单群是有限群论中的一个核心课题。我 16 岁就学习抽象代数, 但那时对有限非交换单群只知道 5 次以上的交错群, 直到插队时读丢多涅的《典型群的几何学》才知道了大批有限单群。肖刚 19 岁开始学抽象代数,虽比我晚但起点高, 一开始就是读 Serge Lang 的 Algebra, 该书不仅内容更新, 而且用的是范畴的语言,而我只读过中文书, 知道的语言最新也就是 1950 年代的“泛代数”, 比肖刚要逊一筹。不懂范畴的语言,就没法学现代代数几何, 这是后话。
1940-50 年代发现有限单群主要靠典型群理论, 我国学者参与了这方面的研究工作, 其中华罗庚先生的工作尤有影响, 在丢多涅的《典型群的几何学》的参考文献中, 华罗庚先生的论文超过十篇, 而其他人 (除丢多涅本人外)的论文不过一两篇。到 1950 年代后期, 典型群这一途径所能发现的已经都做完了, 但有限单群并没有找完。1960 年代国际该领域出现了一种全新的方法, 即通过李代数构造有限群的方法, 源自 Chevalley 的工作。遗憾的是, 由于“文化大革命”, 我国没有学者参与这个方向的研究工作, 甚至很少有人知道。
1977 年数学界刚恢复研究工作, 段学复先生等群论专家提出先学李型群, 而 R. Carter 的 Simple Groups of Lie Type 是一本易懂的教科书。
讲这本书没什么困难。在讲的过程中我们常常先在宿舍里讨论。为了搞清 B3 型 Weyl 群的结构,肖刚还用纸做了立体模型。
曾老师不时提出一些问题, 我俩就这样做了点小研究。例如有一次曾老师要我们算一下例外李代数的 Weyl 群的阶 (书上有结果但无解释), 我在寒假期间探讨了 F4 型 Weyl 群的结构, 给出一个正规群列, 曾老师说“我听得非常舒服”。后来肖刚和我分别对于 G2 型和 F4 型的一些问题 (如多项式不变量) 做了点研究。
我俩一边读, 一边在讨论班讲, 同时也把书翻译了。本来译书是为了让我练英语, 但译出后还真起了点作用,因为有些其他学校需要。后来我们就用复写纸誊抄了多份 (那时连油印机都没有), 在全国代数会议上分发给大家。
“文革”期间可以说是“科学的冬天”, 那时很多科学家无法做科学研究, 大学招的是“工农兵学员”。若没有邓小平的坚持, 只怕直到今天大学招生还是“自愿报名, 群众推荐, 领导审批, 学校复审”那一套。
我跟肖刚讲过一些“工农兵学员”如何狂傲的故事, 后来成了他经常挂在嘴边的笑话。
“四人帮”倒台后, 开了全国科学大会, “科学的春天”是郭沫若 (科学院院长兼科大校长) 在会上说的。
“科学的春天”里有什么呢? 首先是徐迟对于科学家的采访, 写出的报告如“哥德巴赫猜想”非常有影响。影响有正面和负面的, 正面的例如很多青年想学科学, 想上大学, 尤其是想上科大; 负面的例如很多人认为数学家都是书呆子, 走路要撞电线杆的。
在这个背景下, 科大招生有相当大的自主权, 多次派人到全国各地面试, 除了研究生还有本科生, 后来还有少年班, 每次面试都有新闻。
记者们也没少往科大跑。我和肖刚都是尽力回避, 学校也帮着挡驾, 但肖刚还是中了一次招。结果是一篇关于肖刚的报道登在报纸上了。
对于今天的很多青年, 这真是巴不得的事, 可那时的我们是避之不及的。其实直到今天我也不认为出虚名是什么好事, 因为中国最不缺的就是骗子。
而在那时, 一篇报道的效果, 是情书如雪片般飞来。
肖刚把这些情书摊开来展览, 谁都可以来“欣赏”。不过有一封还附了照片的, 肖刚把照片寄回了。
还有一个影响, 是很多青年给著名科学家写信。其中确有些优秀的, 但不多。这种事“文革”中就有, 例如据说苏步青先生那时就通信指导过 15 个青年。但在 1978 年后, 青年求学的道路已逐渐打开, 优秀的青年求学不一定要找科学家帮助了。此时一些科学家收到的信, 往往水平不高, 甚至是“民科”级的。
例如龚升先生 (当时已是数学系主任) 就经常收到这样的信。他有一次批示: 交肖刚、李克正处理。
我们看了这些信, 水平都不高。怎么处理呢? 考虑再三, 我们将原信退回, 并写回信说龚升先生已阅过, 现寄还请查收, 然后说些鼓励的话。
除了讨论班和在宿舍里读书, 我和肖刚经常做的一件事是泡图书馆。
尽管搬迁受了不少损失, 科大图书馆的藏书还是很丰富的, 而且泡图书馆的人不多, 所以我俩如鱼得水。我俩都不是科班出身, 没什么专业局限, 兴趣广泛, 在图书馆里自然是“博览群书”, 包括杂志。泡完了总还要借些书带回去, 如果借的是过刊, 那是很厚很沉的。
有一天我们泡完图书馆回宿舍, 正遇到 77 级本科新生入校, 他们坐在大巴上看到我俩各抱着一大摞书经过,纷纷感叹说科大的学生这么用功, 我们一定要努力。我们没想到竟然会有这样搞笑的影响。
即使在周末, 只要图书馆开放我们也会去。记得有一次图书馆不开放, 但我们看到有一些老师进出,其中有我们认识的方励之教授, 他是我哥哥的大学同学, 我去科大时哥哥向他做了介绍。于是我们找方教授帮我们进去, 就这样又泡了半天。
在图书馆里我们读的书很杂。例如美国数学月刊, 都是比较通俗易懂的文章, 还有很多有趣的习题,我们经常读。还读过很多逻辑推理题的书, 边读边做锻炼逻辑思维。
当年插队时我的梦想是有学习的机会。而我对大学的期望, 一是有高水平的导师, 二是有几个志同道合的同学,三是有个好图书馆。我的这个观点颇得插队友的赞同, 但恐怕与今日青年们的想法相距甚远吧。
前面说到没有适合我上的外语课, 那么我怎样学外语呢? 肖刚说还是我来教你吧, 我当然非常乐意。于是肖刚就开始对我严格训练。
首先, 肖刚肯定我的语法还行, 给了我很大的鼓励。但我实在是个很不合格的学生, 例如肖刚要我背单词, 说一天背不了一千个, 背五百个总可以吧, 我说天哪, 我一百个也背不了。而且我背了的还经常忘, 所以肖刚每次检查都不合格。
这里还有一个小插曲。曾老师因研究密码与总参三部有合作项目, 为了帮助我学外语, 拟用总参拨来的课题经费买台录音机, 让我设法到南京去买 (那时经济上是个短缺时代, 很多东西不是有钱就能买到的)。我托人买到了, 花了 300 元, 但财务不但不给报销, 还把我们熊了一顿, 意思是买这么贵重的东西需要校领导批准 (后来是经过层层审批多个校领导签字才得以报销)。现在看来这财务规定很荒唐, 一般学校对于这种“横向”课题经费的使用规定已很简单。但今天财务上的一些规定, 也许将来人们也会觉得很荒唐吧。
有了录音机, 肖刚就通过自己装的高灵敏度收音机录了美国之音等电台的英语练习资料, 如《汤姆索亚历险记》,《奥亨利短篇小说选》等, 让我听写。录音都很清晰, 但我一开始基本上只能抓住一些零散的词, 几乎连不成句子。反复听了以后才能够写出个大概, 还有不少错误, 这远不是合格的, 必须写到一个词都不错才行。肖刚同时还布置我做很多练习, 还有背单词, 并经常考我。记忆中每次我都考不及格。虽然我是肖刚的差生, 但我心里有数: 其实我进步很快, 只是不能跟肖刚比。
就是这样被肖刚拖着拽着, 两个月后我已经可以和他一起翻译 Carter 的书了 (但书中的前言,曾老师说必须肖刚翻译, 因为不能“略输文采”)。
一年后, 国内开始成批派遣出国访问学者和留学生。为此先举办了全国性的外语考试, 学校让我和肖刚都参加了。肖刚考了 87 分, 是安徽考区的最高分。我的成绩听说只有 68 分, 有点沮丧, 但学校很满意(后来定的及格线是 50 分, 甚至一些没及格的人也被派遣出国了)。在出国前我参加外训班, 老师竟把我看作班里最好的学生之一。后来出国也没有遇到语言上的困难。足见肖刚的训练法之高明。
单墫和我同时考科大的研究生, 但却迟迟没有录取, 原因是“政审”出了问题。
这问题是: 单墫的档案里写着, 他的姐姐是“特嫌”, 即有特务嫌疑 (请读者别往谍战剧上联想)。
这样的“问题”在今天看来实在荒唐: 首先, “嫌疑”若不能定案是不能写入档案的; 其次, 即便真是特务,也得说明犯罪事实和性质; 再次, 姐姐的问题怎能牵连到弟弟考研? 然而当时就是这样。
至于他姐姐是“特嫌”的理由大略如下。单墫小时候, 家里住在南京城南的一个老式院子里, 这种院子房挨房, 都是木板房且逼仄。他们家的一个邻居是个孤苦伶仃的老太, 单墫的姐姐待她好。后来老太因有“海外关系”移民香港, 这样的人都有“特嫌”, 而单墫的姐姐跟她关系好也就传染了“特嫌”。
由于这个原因, 单墫尽管中学时成绩拔尖, 高考只考上扬州师院, 而且毕业后考研考不上。但其中的原因, 直到考科大后才知道。
即使在当时, 大家也都知道这个“问题”完全是扯淡, 但领导不敢拍板。总拖着不行啊, 如果不录取赶快告诉人家, 还可以考别的学校。系里也着急, 后来是盯着校领导挨个签字,总算通过了。
单墫来了, 我们的宿舍更热闹了。单墫是解题高手, 而我和肖刚又喜欢做题, 所以那段时间做了很多题, 例如美国数学月刊上的题, Putnam 大学生数学竞赛题, IMO 赛题等, 我们还编过二十多届 IMO 题解, 当时有个公司拿去说要出版, 后来没出也没拿回原稿。
我们的宿舍在办公楼里, 经常人来人往, 有些老师常来坐坐, 不时带些题目来给我们做。这些题目我们都会一个不漏地给出解答。后来有些老师干脆就把待解习题顺路放在我们宿舍, 过两天来取答案。久而久之, 杨劲根戏称我们的宿舍为“中国科大解题中心”。
题做多了, 我们也不时编些整人的题, 这样就形成三人论剑的局面。常常是两人讨论出个题目再去考第三个人, 而第三个人也不是省油的灯, 往往做出来后还会把问题改得更难再回敬给二位。这样编出的习题可能相当难。
例如有这样一个组合题: 设 S 是一个 n 元集, S1,...,Sm 是 S 的非空子集 (m>n)。证明存在这些子集的两个组 (两组无公共子集) 使得它们具有相同的并。
为了中学生容易理解我把问题改为: 在一个数学竞赛中共有 n 个试题, 有 m 个参赛者 (m>n), 每个人都至少做出 1 题。他们可以组队, 一队人中有一个人做出某题就算该队做出这个题。证明必可组成两个队(一个人不能同时参加两个队), 使得两队做出的题目相同。
这原是美国数学月刊上的题, 原解答长达 3 页, 然而肖刚读后发现解答有误。为此他重做了一个解答, 长达 1 页。后来单墫利用线性代数做了一个非常简单的证明, 证明的思想源自李代数理论中的精妙方法和曾老师由此编的初等习题。
我曾和单墫商量, 基于我们编的习题出一本高等代数习题集。单墫觉得这样的习题集怕是没人做, 就搁下了。我后来在《抽象代数基础》中放入了我们出的一个习题 (附有解答), 却不料被人拿去当论文发表了。
为了发表这类初等问题, 肖刚拟了一个我们三人共同的笔名“肖韧吾” (意为小人物)。后来我和肖刚用得很少,单墫却用此笔名发表过不少文章, 而且在我和肖刚出国后还继续发。
听说后来有人据此称我们为“三剑客”, 有点意思。
1978 年 4 月, 全国代数会议在北京师范大学召开。这样的学术会议由于“文革”而停办了十余年。
曾老师带我们去参加了这个会, 前一段时间的学习可以说是为参加这个会议做了准备。这个会议主要是大家一起读李型群, 主要是读 Carter 的书。
在会上我们认识了很多国内的代数学家, 记得有段学复、万哲先、张禾瑞、曹锡华、郝鈵新、佟文廷、王仰贤等前辈,还有年轻的一代如戴宗铎、刘木兰、冯绪宁、李根道、陈志杰、邱森等等。钟家庆也在会上做了个报告。
我觉得这个会的主要作用是激发了国内代数学界重整旗鼓的决心。
肖刚和我在会上也做了报告。段学复先生说肖刚和我的报告“给了与会者很深的印象。我们很高兴地看到, 国内代数学界后继乏人的情况已经开始改变。”
会议期间组织大家去十三陵。其间我和肖刚又一次“历险”。
大家去的是定陵, 肖刚和我想去个没去过的地方, 看看昭陵不远, 就走过去了。
昭陵年久失修, 多有残破, 瓦上长着草。旁边的一块空场上有一群外国人, 看来是某国使馆来郊游的。一些孩子们在赛球, 不知什么原因起了争执, 一个大人过来劝说, 肖刚翻译他说的是“友谊第一,比赛第二”, 哈哈。
我们照了几张照片, 忽然蹦出一个警察, 说我们拍了外国人, 要我们把胶卷曝光。那样我们损失就大了,于是我据理力争。怎么说都说不通, 肖刚有些怕了, 说给他算了, 我坚持不给, 但也不硬顶, 打定主意采取“磨”的战术, 不知磨了多长时间, 也许不止半小时, 警察给磨疲了, 自己也说这么远的距离不可能拍得清楚, 我自然顺着说下去, 警察看看时间不早了, 说别耽误你们回去, 就放过了。回去后曾老师开玩笑说肖刚“立场不坚定”。
“改革开放”的一个重要举措是派遣留学生。1979 年, 我和肖刚都在科大的派遣名单中。
那段时间, 我和肖刚已在读 Humphreys 的线性代数群, 该书采用代数几何的方法研究代数群, 书后有一个附录简单介绍代数几何。我和肖刚越读越觉得代数几何非常要紧, 而在我国非常薄弱。所以说到出国留学,我俩是打定主意非代数几何不学, 而且要学好了带回来。对此我俩不仅目标非常明确, 而且意志非常坚定。
去哪个国家呢? 美国、苏联、法国都是代数几何强国, 但当时和苏联的关系还不大适合派遣留学生。曾老师说, 你们两人不要去同一个国家, 一个去美国一个去法国。肖刚想了想对我说, 看来只能你去美国我去法国了。是的, 我那时英语都还不行, 再学一门法语实在勉为其难。而肖刚很快就将法语学得很好了。
出国后我们经常通信, 互相报告学习情况。我和他都是一开始就参加讨论班, 很多东西听不懂。记得肖刚有一封信里列出一大堆不懂的术语, 还有一次因需要读 SGA4, 说简直是天书。在相当长的时间里, 我俩仍像以往那样互相启发和帮助。当然, 我俩不久就都渡过了难关, 此后不仅可以读“天书”, 甚至也可以写一点。
此外, 在通信中我俩还不时互相给出些习题, 其中颇有些很重要的习题。这些习题都不很初等, 但在我的印象中还没有做不出的。
我俩毕业后都回国工作, 而且倾注了很大的精力于人才培养。