数学分析

教案一　实数完备性的等价命题

实数完备性的等价命题（教材：第一章§3）

1 (一、问题提出)
2 (二、等价命题证明) (本页)

二、等价命题证明

(1)（用确界定理证明单调有界定理）
(2)（用单调有界定理证明区间套定理）
(3)（用区间套定理证明确界原理）
^*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）
^*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）
^*(6)（用聚点定理证明柯西准则）
^*(7)（用柯西准则证明单调有界定理）

　　(1)（用确界定理证明单调有界定理）

〔证毕〕

　　(2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套．

　　若另有使　，则因

．［证毕］

　　[推论]设为一区间套，．则当时，恒有

．

用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．

　　(3) （用区间套定理证明确界原理）证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．

　　设, 有上界．取；，再令

如此无限进行下去，得一区间套．

　　可证：因恒为的上界，且，故，必有

，

这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．［证毕］

　　*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：

　　“不能用中有限个开区间来覆盖”．

　　对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．

　　由区间套定理，．

　　导出矛盾：使

记由［推论］，当足够大时，

　　　　　

　　这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．［证毕］

　　［说明］当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．

　　*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）设为实轴上的有界无限点集，并设．

　　　由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，

　　　　

就是的一个无限开覆盖．

　　　用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在

　　　　　

为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．

　　所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］

　　［推论（致密性定理）］有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有

　　　　．

　　子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点．

　　*(6)（用聚点定理证明柯西准则）　柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性．

　　已知条件：　当时．欲证收敛．

　　．首先证有界．对于当时，有

　　　　　　

令，则有

　　　　　　　　　　　．

　　．由致密性定理，存在收敛子列，设．

　　．最后证，由条件，当时，有

　　　　．

于是当（同时有）时，就有

　　　　　．　　　　　　［证毕］

　　*(7)(用柯西准则证明单调有界原理)　设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．

　　对于单调数列，柯西条件可改述为：“ 当时，满足 ”．这是因为它同时保证了对一切，恒有

．

　　倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使

．

依次取

把它们相加,得到

．

故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ]

　　在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．

　　[例]证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：

　　(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；

　　(ii) 在内含有中至少一个点；

　　(iii) ，时，使．

　　证：(i)(ii)　　显然成立．

　　(ii)(iii)　由(ii），取，；

　　再取；

　　……

　　一般取；

　　……

由的取法，保证，，．

　　(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点．[证毕]

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