实数完备性的等价命题（教材：第一章§3）实数完备性的等价命题（教材：第一章§3）
1 (一、问题提出) (本页)
2 (二、等价命题证明)
一、问题提出
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理1.2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理1.3 (区间套定理） 设
为一区间套：
．
则存在唯一一点
定理
1.4 (有限覆盖定理) 设
是闭区间
的一个无限开覆盖，即中每一点都含于
中至少一个开区间
内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．
定理
1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集
至少有一个聚点
，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．
定理
1.6 (柯西准则) 数列
收敛的充要条件是：
，只要
恒有
．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．
下图中有三种不同的箭头，其含义如下：
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(1)～(3) |
基本要求类 |
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(4)～(7) |
阅读参考类 |
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(8)～(10) |
习题作业类 |
下面来完成(1)～(7)的证明．
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