课程大纲

 

课程名称:实变函数(Real Variable Function)

一、课程目的、任务:实变函数是大学本科数学专业,应用数学专业和概率统计专业的一门必修专业课。实变函数的主要目的是建立勒贝格积分理论.通过本课程的学习,一方面可巩固与加深对数学分析,微分方程与复变函数课程的理解,另一方面又可获得集合分析,函数构造,函数类的整体观念与某些相当细致及概括性高的分析技巧.对提高学生的数学思维,数学论证和科研能力以及对于例如象泛函分析,概率论,随机过程,控制理论等后继课程的学习起着重要的作用.

二、课程内容:

  1. 通过本课程的学习,使学生正确理解建立勒贝格积分的目的,正确掌握建立直线上的勒贝格测度与积分的过程,了解勒贝格积分与黎曼积分之间的联系与差别.
  2. 通过学习,使学生掌握依测度收敛与几乎处处收敛的概念,明确这两种收敛之间的差别与联系.
  3. 通过学习,使学生熟练掌握并能正确使用本课程中的若干重要的定理,如非负可测数列的莱维单调收敛定理,勒贝格控制收敛定理,法都引理,勒贝格积分的牛顿—莱布尼茨公式,富比尼定理等.

三、教材及参考书目:
教材:程其襄等编著,实变函数与泛函分析基础,高等教育出版社,第二版,2003
参考书目:
1.实变函数与泛函分析, (夏道行等,高等教育出版社);
2.实变函数论, (周民强,北京大学出版社);
3.实变函数论, (那汤松, 高等教育出版社);
4.实变函数简明教程, (魏国强 胡善文, 华东师范大学出版社).

四、考核方式与评价结构比例:
平时成绩占40%,采用课堂提问、小作业等形式进行;期末闭卷考试,考试成绩占60%.

五、讲授大纲:(两级目录)

第一章 点集

第一节 集合及映射
第二节 对等与基数
第三节 可数集合
第四节 连续基数
第五节 直线上的开集
第六节 直线上的闭集

第二章 测度论 

第一节 外测度
第二节 可测集及其性质
第三节 可测集类

第三章 可测函数

第一节 可测函数及其性质
第二节 可测函数类
第三节 可测函数的构造
第四节 可测函数列的极限

第四章 可积函数

第一节 非负函数的Lebesque积分
第二节 非负可测函数列Lebesque积分的极限
第三节 一般可测函数的Lebesque积分
第四节 Riemann积分与Lebesque积分

第五章 微分与绝对连续性

第一节 Vitali覆盖定理
第二节 单调函数的可微性
第三节 有界变差函数
第四节 不定积分

第六章 Fubini定理

第一节 n维欧氏空间上的测度与积分
第二节 Fubini定理

六 教学时数分配

学时安排:

章 次

第1章

第2章

第3章

第4章

第5章

第6章

学 时

9

7

12

12

10

2