第七讲  欧氏空间

1. 我们知道正交变换 是保内积, 从而是保长度的, 因此它也保向量间的夹角: 因为

现在问: 若线性变换 保持向量间的夹角, 是否必是正交变换?

2. 若 都是 阶正交矩阵, 问 还是正交矩阵吗?

3. 正交变换不一定有特征值. 例如, 设 是标准欧氏空间 的正交变换. 若 在标准正交基下的矩阵为

则 的特征多项式无实根, 故 无特征值.

    但是 上的第二类正交变换必以1, -1为特征值, 为什么?

第六讲思考题解答

1. 不是. 我们可以验证 满足定义线性变换的加法及数乘性质, 但是注意到 并不是 到 的映射, 因为它将 中的元素 映为 .

    若将 看成 上的变换, 则它是 的线性变换.

2. 不一定. 因为 是说存在可逆矩阵 , 使得 . 是说, 存在可逆矩阵 , 使得 , 而 不一定等于 , 所以, 不一定与 相似.

    例如: 取 , , , 则 , 而

故 . 但 , . 由于与 相似的矩阵只有 本身, 所以

与 不相似.

3. 不一定. 例如, 上一题举例中 与 的特征多项式均等于 , 但两矩阵并不相似.

【关闭】