对实对称矩阵性质的讨论
周鹏 10041510325
指导教师：林磊
(Ⅰ)负定实对称矩阵
定义1.1设A是一个实对称矩阵，若
，有
，则称是负定的．
定理1.2设A∈Mn（R）是实对称矩阵，则下列条件等价
⑴ A是负定的。
⑵A的负惯性指数r-P等于向量空间的维数n。
⑶A相合于矩阵(-En)。
⑷存在可逆实矩阵C，使得A= -C
C。
⑸A的所有偶数阶顺序主子式全大于零; 所有奇数阶顺序主子式全小于零。
证明：（１）
（２）
V的一个基
对应的列矩阵
有
r+1项
p项 r-p项
由（２）知，p=0,r-p=0.所以Ａ相合于－
．
．
（１）（５）
（5）（1）此时，
=(-1)
＞０，
（Ⅱ）半正定实对称矩阵
定义1.3设A是一个实对称矩阵，若，有
，则称是半正定的．
定理1.4 设A∈Mn（R）是实对称矩阵，则下列条件等价：
⑴．A是半正定的。
⑵．A的正惯性指数P等于它的秩r。
⑶．存在可逆矩阵T∈Mn（R），使得
，r≤n。
⑷．存在实矩阵S∈Mn（R），使得A=SS。
⑸．A的所有主子式全大于或等于零。
证明：⑴
⑵
因为A相合于diag(1,…,1, -1,…, -1,0,…,0),其中1的个数为P,即A的正惯性指数； -1的个数为r-P,为A的负惯性指数，r为A的秩。(0≤P≤r≤n).
所以存在可逆矩阵T，使得：
，
∵A半正定
∴
也半正定
∴若r-p≠0
则取X=（0，…，0，-1，0，…，0）
则：
∴与半正定相矛盾。
∴r-p=0
∴r=p
⑵⑶
∵r=p
∴由上可知：存在可逆矩阵T，使得：
。（r≤n）
⑶⑷
取P=T
，则：A=
=
∴令S=
，则：A=
SS。
⑷⑴
任取X∈
，X
0。则：
令SX=
，则有：
∴A半正定。
⑴⑸
∵⑴
⑷，∴⑴存在实矩阵S∈Mn（R），使得A=SS，
∴
。即：半正定矩阵的行列式
。
记A=（a
），
是A的任意k阶主子式，其中：
B=
，1≤
。
任取（
，并作（
其中
=0，j=1，2，…，n，j≠
。于是有（
，且：
（
。
∴由A半正定可知等式左边≥0，故等式右边≥0，所以B半正定，于是：
。
⑸⑴
先证明对任意λ>0有λE+A是正定的。
任取λE+A的m阶顺序主子式
，
其中
是A的m阶顺序主子式，E
是m阶单位矩阵。
则可得系数
为
的所有k阶主子式的和。的所有k阶主子式显然都是A的k阶主子式。因此是A的一部分k阶主子式的和，所以≥0，k=1，2，…，m。由λ>0知
，m=1，2，…，n。因此对于实数λ>0，λE+A是正定矩阵。
任取X
，则
，即
。从而。这是由于若有
使得
，则由
，可取满足0
的实数
，而
。而这与
正定矛盾。所以由于对任意X，，故A半正定。
所以⑴⑵⑶⑷⑸，故得证。
同样地：当（-A）半正定时，A半负定。于是容易得到：
定理1.5设A∈Mn（R）是实对称矩阵，则下列条件等价
⑴ A是半负定的。
⑵A的正惯性指数P等于零。
⑶存在可逆矩阵T∈Mn（R），使得
，r≤n。
⑷存在实矩阵S∈Mn（R），使得A= -SS。
⑸A的所有偶数阶主子式全大于或等于零; 所有奇数阶顺序主子式全小于或等于零。