正交矩阵及酉矩阵
10041510230 赵全庭
Definition 1：如果
，并且有
，则将定义
为正交矩阵。
Definition 2：如果
，并且有
，则将定义为酉矩阵。
Definition 3：如果，并且有
，则将定义为hermintian矩阵。
Defination 4: 如果, 并且有
，则将定义为规范方阵
Details：现以数域为划分标准，对正交矩阵在不同数域上的性质做些简单的讨论。
Chapter 1 正交矩阵在实数域上的性质
Propersition 1.1 为正交矩阵的充分必要条件是
为正交矩阵。
Propersition 1.2 为正交矩阵，则
也为正交矩阵。反过来，若可逆，为正交矩阵，那也是正交矩阵。
Propersition 1.3 为正交矩阵的充分必要条件是
为正交矩阵。
PF：Propersition 1.1与 Propersition
1.2的证明显然。现对Propersition 1.3作出简单证明。
：为正交矩阵，可逆。因此
，所以
显然
=1，且有Propersition 1.2的结论，
= 
。
得到
=，为正交矩阵。
：为正交矩阵，那为满秩矩阵，由
与的关系易得，为满秩矩阵，又
，
只能是1或-1，所以
也只能是1或-1。而
，因此
。 #
Propersition 1.4 
为正交矩阵，则
，
都为正交矩阵
PF：
=
=，所以为正交矩阵。同理可得也为正交矩阵。 #
Propersition 1.5 若
为正交矩阵，则
只能等于1或-1
PF：
。所以
=1。因此只能等于1或-1 #
Lemmar 1.1 若是可逆矩阵，则0不是的特征值。
若
则
PF：若0是特征值，则
，而这显然与
矛盾！
因此则0不是的特征值。
又= 
，来观察其中一般项的变化：
所以
#
Propersition 1.6 若记
为矩阵的k阶主子式之和。那对于正交矩阵来说，
注。
PF：由是正交矩阵，所以
利用Lemmar
1.1，的结论，
，而
只能等于1或-1，所以#
Propersition 1.7正交矩阵的特征值只能为1或-1
PF：记
为正交变换，
为其特征值，
为属于的特征向量。
则
，所以
=1，
只能为1或-1
#
Propersition 1.8 若正交矩阵相似于一个上（下）三角矩阵
，那就能相似于一个对角矩阵。
PF：不妨设正交矩阵相似于一个上三角矩阵,则的特征值全为实数。现对的阶数进行归纳：
）n=1该结论显然成立。
）假设n-1时成立,则当是n阶时,因为的特征值全为实数，存在特征
值，及属于的特征向量
，则可将空间分解为
，
是不变子空间，由正交变换的性质，
也是不变子空间，则
也是正交变换，由归纳假设，存在基
，使得对角化，则
就是一组能使对角化的基，所以n阶的正交矩阵能对角化，所以命题成立
#
Propersition 1.9 若有如下的分快矩阵：
是正交矩阵的充分必要条件是每个
都是正交矩阵
PF：是正交矩阵，则
=
，所以
，因此每个都是正交矩阵
=
，
所以是正交矩阵。
#
Propersition 1.10 正交矩阵可对角化的充分必要条件是是对称矩阵
PF：
由Propersition 1.7可知，正交矩阵可对角化，那能相似于
，
因此
=
。所以
。
因此
。
若是对称矩阵，又是正交矩阵，由对称矩阵可对角化，则能相似于
。
#
Propersition 1.11 若是正交矩阵，又是反对称矩阵，则的阶数为偶数，且没特征值，所以不能对角化，然而能通过一个可逆矩阵相合于典范型，这可逆矩阵有一些好的性质。
PF: 是正交矩阵, 又是反对称矩阵, 若的阶数为奇数，那=0，这与满秩矛盾！所以的阶数为偶数。
若有特征值，那只能是1或-1。而由
，则
，
，因此
，所以1及-1都不是特征值。没特征值，所以不能对角化。
是反对称矩阵，则存在一个可逆矩阵T，使得
其中
，
所以
， 
，得到
其中B=
。由B可逆，及
，
，
因此
不仅是正定矩阵，且与逆相合相似，
=1，所有特征值的积为1（为偶阶）
#
Propersition 1.12 若是正交矩阵，则[Tr()]<=n。等号成立时，=或-
PF：设=
，
，所以 [Tr()]<=n。
显然等号成立时，两不等号取等。因此 
=0（
），且所有
都相等，都等于1或-1，此时
=或-
#
Propersition 1.13 若是正交矩阵。
且，
那[
]<=
PF：将特征多项式在复域上分解：
=
则
，又由正交矩阵是特殊的酉矩阵，利用Propersition 2.1的结论，
，所以
<=
#
此题还能进行拓展：可用Hadamard不等式
，不仅能得到该命题，且易知正交矩阵的任意k阶子式的绝对值都小于1注2
Chapter 2：正交矩阵在复数域上的性质
为了方便讨论其性质，有以下性质作准备
I）
II）
III）
IV）
V）
因为这些性质较简单，但很基础。现只对进行（V）证明。
PF：对的阶数进行归纳：
）n=1该结论显然成立
假设对n-1时成立，则一个n阶的方矩阵
的行列式为
，其中
是中的
代数余子式，n-1阶的行列式，由归纳假设=
，所以
，因此结论成立。
Propersition 2.1 酉矩阵的特征值的模1
PF：设复空间上的酉变换为
，假设为其特征值，为属于的特征向量。则
，所以[]=1
#
Propersition 2.2 对任意的复矩阵，必有酉矩阵，使得
为上三角矩阵
PF：对的阶数进行归纳：
）n=1该结论显然成立
假设对n-1时成立，则对一个n阶的矩阵可看成是线性变换在一组规范正交基下
的矩阵，由代数学基本定理，存在特征值，及属于的特征向量（单位化了），将扩充成整个空间上的一组规范正交基，则
，由规范正交基到规范正交基的矩阵是酉矩阵，所以，两矩阵通过酉矩阵相似。由归纳假设，
因此
，其中第一个相似关系的过渡矩阵为
，第一个相似关系的过渡矩阵为
，显然两矩阵都为酉矩阵，而两酉矩阵相乘还是酉矩阵，所以结论对n阶矩阵成立.
#
Propersition 2.3 任意酉矩阵，必有酉矩阵，使得为对角矩阵
PF：由Propersition 2.2，得：必有酉矩阵，
。
则
=
，所以
=
=，因此为的逆，为上三角矩阵，而又为下三角矩阵，则为对角。
#
Propersition 2.4任意Hermintian矩阵，必有酉矩阵，使得为对角矩阵.
PF：同理由Propersition 2.2，得：必有酉矩阵，。
则
，
，又酉矩阵，所以
=
，通过角型分析，可知为对角矩阵 #
Propersition 2.5任意规范方阵，必有酉矩阵，使得为对角矩阵
PF：同理由Propersition 2.2，得：必有酉矩阵，。
由，易得
。则
通过比较两边的对应位置上的数，易知为对角形
#
Propersition
2.6对任意的复矩阵是酉相似为对角矩阵的充分必要条件是是规范方阵
PF：由题义
则
，
由酉矩阵的性质，所以。
就是Propersition 2.5的结论
#