正定矩阵及其一些判别方法
指导教师：林磊 姓名：张衍
学号： 10041510233
一．
定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x0都有
＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。
二．
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
证明：若
， 则有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有 
这就证明了A正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
证明：A正定
二次型 
正定
A的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 
；进一步有
（B为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使
令 
则
令 
则
反之，
∴A正定。
同理可证A为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素
，且
。
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
∴
是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩阵C ，使
5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型
是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
，
现证
是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数
，有
∴
是正定的
∴的矩阵
是正定矩阵
即 
即A的顺序主子式全大于零。
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵
， 显然 
是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令
，
，
∴A可分块写成 
∵A的顺序主子式全大于零
∴
的顺序主子式也全大于零
由归纳假设，是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令
，
有
令
，
就有
两边取行列式，则
由条件
得a＞0
显然
即A合同于E ，
∴A是正定的。
三．
负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式
满足
， 
即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1．
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2．
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3．
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如：
矩阵
的顺序主子式
，
，
，
但A并不是半正定的。
关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。