正交矩阵的性质
姓名：张小伟 学号：10041520139
指导老师：林磊
<一> 正交矩阵的定义
我们知道，假如A
是欧几里得空间V中的线性变换，如果A保持内积，即对任意的
，有：
（A（
），A（
））=（
）
则称A是正交变换。我们把正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。另有一个等价的定义即：满足AT.A=E的方阵A
Mn（R）称为正交矩阵（orthogonal matrix）,n阶正交矩阵的集合记为O(n,R)。
<二>正交矩阵的特征与运算
1．
如果是一个n阶实数方程，那么下列条件是等价的：
（1）
A是正交矩阵；
（2）
AT=A-1;
（3）
A*A-1=E;
（4）
A的每个列（行）的元素的平方和等于1，不同列（行）的对应元素的乘积之和等于0
证明：（略）。
2．
如果A是正交矩阵，则A的行列式为
，即det(A)= 。
事实上，因为A*AT=E,因此det(A*AT)=det（E）＝1，即(det(A))2=1,继而可以得出：
det(A)=
3.
如果A是正交矩阵，则A一定可逆且A-1仍然是一个正交矩阵。
事实上，由2可知det(A)= 
0,A是非退化得，故A-1一定存在。另有A*AT=E，故A-1=AT.又因为A-1(A-1)T=AT(AT)T=ATA=E，因此A-1也是一个正交矩阵. 至此也就明显知道AT也是正交矩阵。
4.
若A
,B则A
.
事实上,因为
5. 
6, 若
,则 A*
.
这是因为 A*=|A|A-1,而A-1是正交的,又知道|A|=
1,由5可知A*是正交的.
7,
欧几里得空间中的正交变换的特征值只能是1.
若A(α)=λα,则 (A(α), A(α))=( λα, λα)=
λ2α=
(α, α),因此λ2=1,从而λ=1或者λ=-1.
<三>正交矩阵与特殊矩阵的关系
1. 假设A是实的可逆矩阵,则A=QT,其中Q是正交矩阵,T是上三角矩阵.
其实,由此也可以推广:
对于一般的正交矩阵，判断它是否可对角化没有一定的规律可循，所以我们只能对具备一定条件的正交矩阵来讨论它的对角化性质。
2．特征值全是实数的正交矩阵必是对称矩阵。
证：设A是n阶正交矩阵，A是A在欧几里得空间V上对应的正交变换，设λ1是的任一特征值，α1是对应的特征向量。取W=L（α1），则
是A的不变子空间。注意到A|
仍然是正交变换，且A在上的特征值就是A的特征值。对A|重复上述步骤可得到n个特征值λ1，λ2，…，λn以及与之对应的两两正交的特征向量α1，α2，…，αn，将这n个向量规范正交化得到新的规范正交基η1，η2，…，ηn，并且A在该基下的矩阵为：diag（λ1，λ2，…，λn）。设T是由旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵，则有：
T-1AT=diag（λ1，λ2，…，λn）
因为T也是正交的，故A=Tdiag（λ1，λ2，…，λn）T-1=
Tdiag（λ1，λ2，…，λn）T-T
因此，A是对称的。我们知道实对称矩阵一定是可对角化的，进而我们就可知道：特征值全是实数的正交矩阵一定是可对角化的。