探究实对称矩阵的性质

学号：10041510101 姓名：先莹莹 指导老师：林磊

一、设A是实对称矩阵.如果对于任意的实非零矩阵X有>0,就称A为正定的；

定理1、1 实对称矩阵是正定的充分必要条件是正惯性指数等于向量空间的维数（即矩阵的阶数）.

推论 1、1 实对称矩阵是正定的充分必要条件是它相合于单位矩阵.

推论 1、2 正定实对称矩阵的行列式大于零.

推论 1、3 实对称矩阵A是正定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使A=.

定理 1、2 实对称矩阵A（R）是正定的充分必要条件是它的所有顺序主子式大于零.

二、设A是实对称矩阵.如果对于任意的实非零矩阵X有0, 就称A为半正定的；

定理 2、1 实对称矩阵是半正定的充分必要条件是正惯性指数等于它的秩r.

证明：设rank(A)=r,正惯性指数为p.所以存在可逆实矩阵T使得

由A半正定知，右边的矩阵也半正定,所以必有r-p=0,若不然右边矩阵为不定的或者半负定的，因此r=p.

推论 2、1 实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得

证明：由定理2、1可知，r-p=0,所以上面证明中存在可逆矩阵，使得

推论2、2 实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是存在实矩阵S，使得.

证明：A半正定，存在可逆矩阵T，使得

令，令

任取， ，记，则，所以A半正定.

定理2、2 实对称矩阵A（R）是半正定的充分必要条件是它的所有主子式都大于或等于零.

证明：首先，由上面的证明可以看出，半正定矩阵的行列式，记，而是A的任意一个k阶主子式，其中

任取于是有且

由A半正定知等式左边，从而等式右边也。于是B半正定，所以.

任取的m阶顺序主子式

其中是A的m阶的顺序主子式，是m阶单位矩阵，按第七章第3节习题8的方法可得系数为的所有k阶主子式的和，所以再由知因此对于实数,是正定矩阵.所以由习题8-3第6题可知A半正定

三、设A是实对称矩阵.如果对于任意的实非零矩阵X有〈0,就称A为负定的；

定理3、1 实对称矩阵是负定的充分必要条件是负惯性指数等于向量空间的维数（即矩阵的阶数）.

证明：由于A负定，所以-A正定，由于-A的正惯性指数等于向量空间的维数，所以A的负惯性指数等于向量空间的维数.

推论 3、1 实对称矩阵是负定的充分必要条件是它相合于-E.

证明：由于A负定，所以-A正定，存在可逆矩阵，使得，所以

推论 3、2 实对称矩阵A是负定的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使A=-.

证明：由于A负定，所以-A正定，存在可逆矩阵C，使得-A=，所以A=-.

四、设A是实对称矩阵.如果对于任意的实非零矩阵X有0,就称A为半负定的；

定理 4、1 实对称矩阵是半负定的充分必要条件是负惯性指数等于它的秩r.

证明：由于A半负定，所以-A半正定，所以-A的正惯性指数等于它的秩r，所以A的负惯性指数等于它的秩r.

推论 4、1 实对称矩阵A是半负定的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得

证明：由于A半负定，所以-A半正定，存在可逆矩阵，使得所以

推论4、2 实对称矩阵A是半负定的充分必要条件是存在实矩阵S，使得.

证明：由于A半负定，所以-A半正定，所以存在实矩阵S，使得.所以.

五、设A是实对称矩阵.如果A既不是半正定的，又不是半负定的，就称A为不定的.

定理 5、1 实对称矩阵是不定的充分必要条件是正惯性指数大于零，负惯性指数大于零.

证明：设rank(A)=r,正惯性指数为p.所以存在可逆实矩阵T使得

由A不定可知，右边的矩阵也不定，所以p>0,r-p>0.