关于正定、负定、不定矩阵主子式的讨论

指导教师：林磊 学生：武丹 学号：10041510316

首先，在此列出本文将要证明的几个结论：

设A为n阶实对称方阵

u A是正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于0;

u A是负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于0；

u A是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于0；

u A是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于0；

接下来，我将对以上命题逐一作适当证明。关于正定矩阵的结论，教材上已有详尽的论述，在此略去，不做赘述。

关于负定矩阵的结论的证明如下：

若A为负定矩阵，则对任意的实非零列矩阵X有,那么，即，所以，-A是正定矩阵，由本文第一个结论可知，-A是正定矩阵与-A的所有主子式都大于零是等价的，设为A的k阶主子式，那么就是-A的k阶主子式（k=1,2…n），同时因为，所以，这等价于当k取奇数时，k取偶数时，即证得结论。

关于半正定矩阵的结论的证明如下：

先证必要性。必要性的证明可类似于教材上面关于正定矩阵相似结论的证明，这里给出另外一种证明方法。若A为半正定矩阵，考虑,则对任意的实非零列矩阵X有

因为X为实非零列矩阵，所以，所以，所以是正定矩阵，设为的k阶主子式，为A的k阶主子式，则，是关于的多项式，所以，证得结论。

再证充分性。利用数学归纳法证明。当A的阶数n=1时，，则对任意的实非零列矩阵X有，，因此A是半正定的。假设充分性的论断对于n-1阶实对称矩阵成立，对于所有主子式大于等于零的对称矩阵A，做它的分块矩阵 , .

根据归纳假设，是半正定的，所以存在使得

。

令

可得 ， 其中，，。

再令 ，

可得 ，。

记

则。

根据条件可得，分三种情况考虑矩阵：

1. 若其中元素全部为零，则，，所以得到A是半正定的；

2. 若此矩阵元素不全为零，且除外，还有非零元，则存在可逆矩阵 ，

使得，那么一定存在可逆矩阵，使得 ， ，

由于相合矩阵的正定性是不变的，所以，进而得到k=0,所以此种情况不成

立；

3. 若此矩阵元素不全为零，且除外没有非零元， 则存在可逆矩阵

，

使得 ，

由于相合矩阵的正定性是不变的，可以得到A是半正定的；

充分性证毕 。

关于半负定矩阵的结论可类比半正定的结论相应的得到证明，此处略去。

至此，本文开始提出的4个命题已全部证明完毕，但是，实对称矩阵中还有一类没有讨

论，那就是不定矩阵。我们知道，若把实对称矩阵划分为半正定、半负定、不定矩阵，则某一矩阵必定属于也只能属于其中之一，那么，前面既然已经讨论清楚了半正定与半负定矩阵行列式的情况，不定矩阵行列式的形式也就显而易见了，那就是：所有的主子式不能全大于等于零，也不能满足所有奇数阶主子式都小于等于0，并且所有偶数阶主子式都大于等于0，除此之外，再无其他一般特性。