正交矩阵的一些性质

华东师范大学数学系基地班研究性作业

王一 10041510128 指导老师：林磊

定义：满足的方阵称为正交矩阵。阶正交矩阵的集合为。所对应的线性变换为正交变换，设为。

先简述正交矩阵的一些简单性质，以便于下面的讨论：若，则,且为所有行列式为1的正交矩阵的集合；的特征值为；。

一,正交矩阵与运算。

1. 1, 正交矩阵的积。

命题1：正交矩阵的积仍是正交矩阵。

证明：，

，

为正交矩阵。

1．2，正交矩阵的逆。

命题2：正交矩阵的逆一定存在，且仍为正交矩阵。

证明：，

，

必存在，且就是。

，

为正交矩阵。

又因为，所以也是正交矩阵。

1．3，两正交矩阵的和。

如若，则，。

但如，，

则,且 。

命题3：两正交矩阵的和为正交矩阵的充要条件是。

证明：，

，

，

。

为正交矩阵乘积的形式，

。

当时，可得为正交矩阵的条件。

1．4，正交矩阵的数乘。

命题4：若 ，且，当且仅当。

证明：，

，

时，显然是正交矩阵，

时， ，

，

命题得证。

1．5，正交矩阵的伴随。

命题5：一个矩阵的伴随为正交矩阵的充要条件是其自身为正交矩阵。

证明：由命题2可知：，则 。

，

，

。

，

可看作，

。

二，正交矩阵的一些性质。

2．1，正交矩阵与对角矩阵。

命题6：正交矩阵一定相似于

， （1）

其中，为，，。

证明：对正交矩阵的阶数使用归纳法。

当时，矩阵已为对角矩阵。

当时，正交矩阵只有两种，

即和，分别对应的线性变换为旋转变换和镜射变换。

，

无实数解，

无特征值，已为所要证的形式。

，

相似于。

设当，时均满足结论，

则当时，设为阶正交矩阵，为其所对应的正交变换。

为次实系数多项式，

I）若在上含一次可约因式，

则 ，

所对应的特征子空间的不变子空间，且其补空间也是不变子空间。

相似于，其中为阶正交矩阵，

由归纳假设可得，相似于形如（1）的准对角形。

II）若在上只含二次可约因式，

设，为次实系数多项式，

且可在复数域分解为，

分别对应的一维复特征子空间，设特征向量分别为，，

为的二维不变子空间。

，

，

也是的特征向量，不妨设。

设，其中为实空间的向量，为实数，

，

，

，。

与线性无关，

与线性无关，

所组成的子空间为的二维不变子空间。

由也可推出该结论，

为所张成的不变子空间的一组实的基。

相似于，其中，也为正交矩阵，

为二阶正交矩阵，且无实特征值，

可表为，

相似于，为阶正交矩阵。

由归纳假设可得，相似于形如（1）的准对角形。

命题得证。

2．2，正交矩阵的正定性。

命题7：正定的正交矩阵只能为单位矩阵。

证明：若正定，则，，为的特征值。

，

，

，

。

同理，负定的正交矩阵只能为负单位矩阵。

正交矩阵为满秩矩阵，

正交矩阵不可能为半正定或半负定的。

2．3，正交矩阵与对（反）称矩阵。

若既是正交矩阵又是对称矩阵，则,

，

相似于。

若既是正交矩阵又是反称矩阵，则，

反称矩阵没有实的特征值，且满秩反称矩阵必为偶数阶，

相似于，

反称矩阵对角元为0，

，

相似于。

2．4，正交矩阵的迹。

由正交矩阵的对角形式可知，，为正交矩阵的阶数。

参考资料：

陈志杰 主编.高等代数与解析几何.北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格出版社,2000.6

孟道骥 著. 高等代数与解析几何.北京:科学出版社,1998