对称矩阵的定性及其证明
数学系04级2班 王江 10041510203
指导老师 林磊
目录：
一．称矩阵的定义及一些常用的性质定理。
二．正定矩阵的定义及其证明。
（1）正定矩阵的定义。
（2）
是正定矩阵的充要条件：
①的惯性指数等于向量空间的维数；
②相合于单位矩阵；
③存在可逆实矩阵，使
；
④的所有顺序主子式全大于
；
⑤的所有特征值
；
⑥存在非退化的上（下）三角矩阵
，使
；
⑦的所有
阶主子式之和大于
，
⑧存在正交向量组
使得
三．半正定矩阵的定义及其证明。
（1） 半正定矩阵的定义。
（2） 是半正定矩阵的充要条件：
①正惯性指数
；
②存在可逆矩阵
，使得：
,
；
③存在实矩阵
使得
；
④的所有主子式
；
⑤的所有特征值都大于等于零；
⑥存在正交向量组
，使得
。
四．若
是正定矩阵，则是负定矩阵。
五．若
是半正定矩阵，则是半负定矩阵。
六．若既非半正定，又非半负定，则是不定矩阵。
（1） 不定矩阵的定义：为实对称矩阵，若存在两个非零列矩阵
和
，有
，
，则称为不定矩阵。
（2）为不定矩阵的充要条件：
①的正惯性指数
满足：
；
②存在可逆矩阵
，使得
，
；
③同时有正的特征值和负特征值。
正文：
一．
对称矩阵的定义：如果矩阵
，满足
，则称为对称矩阵(symmetric matrix)。
对称矩阵
一定可以相合与对角矩阵
。
当K是实数域时，A必定相合与对角矩阵
。其中p称为正惯性系数，r-p称为负惯性系数。
惯性定理：实对称矩阵的正惯性系数是唯一确定的。
二．（1）正定的定义：为实对称矩阵，对任意实非零列矩阵
，有
，则称为正定矩阵。
（2）是正定矩阵的充要条件：
①的惯性指数等于向量空间的维数；
证明：必要性：已知正定，则存在可逆矩阵
，使
，若
，则
，则对角矩阵B的对角元素中第n个元素为-1或0，则
，
使
，即
，即
，T可逆，X不全为0，
也不全为0，
式与A正定矛盾。所以
。
充分性 ：已知正惯性系数
，即存在可逆矩阵，
，则任意非零，
，
由X的任意性得A为正定矩阵。
②相合于单位矩阵；
证明：证法同上①，略。
③存在可逆实矩阵，使；
证明：必要性：A正定，则存在可逆矩阵，
，
，
记
，则
充分性 ：存在可逆实矩阵，使，
，由②，A为正定矩阵。
④的所有顺序主子式全大于；
证明：必要性：任意自然数
，
，其中
，
，
。取相应的分块列矩阵
。
根据矩阵正定性的定义，当
时有
，
由
的任意性可以知道对称矩阵
是正定的，有
。而
正是矩阵的
阶顺序主子式。
充分性 ：对
做数学归纳法。当
时，
，对任意的
有
，因此A是正定的。
假设充分性的论断对于
阶实对称矩阵成立。对于顺序主子式
全大于0的对称矩阵
，作它的分块矩阵
。由于
的顺序主子式都是A的顺序主子式，因此都大于0。根据归纳法假设，对称矩阵是正定的。存在
，使得
，令
，可得
。
再令
，即得
令
，
，就有
。
两边取行列式，得到
。由已知条件，
，因此
，也就是说A相合于一个对角线元素全为正的对称矩阵，即A的正惯性指数等于n..由①得，A是正定矩阵。
⑤的所有特征值；
证明： 
A是实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得
，其中
是A的全部特征值。
A正定的充要条件是B是正定的，即全大于0。
⑥存在非退化的上（下）三角矩阵，使；
证明：只要证上三角成立即可。
必要性 ：由A正定，存在可逆矩阵P，
。
下面，证P可以分解为
，其中，T是正交矩阵，Q是上三角矩阵。
记P的列向量为
，因为
，为标准欧氏空间
的一个基，对这个基进行施密特正交化过程：
，
，
，
取
，
，其中M是上三角矩阵。
为的规范正交基，得
是正交矩阵。
，
记
，有
，T是正交矩阵，Q是上三角矩阵。
，
充分性：若
，Q为非退化上三角，即Q为可逆实矩阵，则A正定。
⑦的所有阶主子式之和大于，；
证明：必要性 ：A为正定矩阵，A的任一阶主子式为
，
，，
对称,则
对称
存在正定矩阵,有
，其中
是的特征值，
，
，
正定, 
，
,即的所有阶主子式之和大于0, 。
充分性 :的所有阶主子式之和大于0, ，
设的特征值
是多项式
的根,其中
全大于0。
现要证多项式只有正根：
当
时, 
, 不是的根。
假设
有负根
。
当
时，
=
，每一项都是负的,所以
，即是奇数时，无负根。
当
时， =
，每一项都是正的，所以
，即是偶数时，无负根。所以只有正根。所以
，所以正定。
⑧存在正交向量组使得；
证明：必要性：是正定矩阵,存在正交矩阵，，其中是A的全部特征值。
，
其中
，
记
的列向量为
，因为是正交矩阵，所以
为正交向量组。
，
记
，则
，
。
充分性：若
，为正交向量组，
， 。
对任意实非零列矩阵，
，
=
，
是正定矩阵。
三．半正定矩阵的定义及其证明。
（3） 半正定矩阵的定义： 是实对称矩阵，对任意实非零列矩阵
，有
,则称是半正定矩阵。
（4） 是半正定矩阵的充要条件：
①正惯性指数；
证明: 必要性：存在可逆矩阵，
， 
，若
，则
，则对角矩阵B的对角元素中第
个元素为-1，则
，
，即
，
,使
,与半正定定义矛盾，
，
充分性: 存在可逆矩阵, 
,
，
，
，
，
由
的任意性知， 是半正定矩阵。
②存在可逆矩阵，使得：,；
在①中已证明。
③存在实矩阵
，使得；
证明：必要性：因为半正定，存在可逆矩阵, 
，
记
，即有，
充分性：若存在实矩阵使得，
，
，
，
，
是半正定矩阵。
④的所有主子式；
证明：必要性：为半正定矩阵，的阶主子式为
，
，，
存在实可逆矩阵
，
，是主子式的秩，
。
。
充分性：已知的主子式都大于等于零，假设不是半正定矩阵，则，存在非零列矩阵，有
，
又因为存在正交矩阵，使
，
有
，即，
令
，则，有
，
则存在
，这与的所有主子式大于等于零矛盾。
所以，是半正定矩阵。
⑤的所有特征值都大于等于零；
证明：是实对称矩阵，存在正交矩阵，
，其中
为的全部特征值。所以为半正定矩阵的充要条件是，
是半正定的，既都大于等于零。
⑥存在正交向量组，使得。
证明：必要性：是半正定矩阵,存在正交矩阵,
，其中
是的全部非零特征值。
,
记，
记的列向量为
,因为是正交矩阵,所以为正交向量组.
记
，则
，
。
充分性：若
，
为正交向量组，
， 
。
对任意实非零列矩阵，
=
，（当
时取等号）。
是半正定矩阵.
四．若是正定矩阵，则是负定矩阵。
五．若是半正定矩阵，则是半负定矩阵。
六．若既非半正定，又非半负定，则是不定矩阵。
为不定矩阵的充要条件：
①的正惯性指数满足：
②存在可逆矩阵，使得，
③同时有正的特征值和负特征值