正交矩阵及一些特性
指导教师：林磊 学号：100421510232 姓名：孟繁雪
设
是欧几里得空间V的线性变换，如果
保持内积，也就是说，对任意的
，
，有
，
则称是正交变换，而正交变换关于规范正交积的矩阵称为正交矩阵。
设
是一个n阶实数方阵，A是正交矩阵,那么有以下几条等价命题：
（1） 
；
（2） 
；
（3） A的每个列的元素的平方和等于1，不同列的对应元素乘积之和等于0。即
（4）A的每个行的元素的平方和等于1，不同行的对应元素乘积之和等于0。即
其中为A的逆矩阵，为A的转置矩阵
证明见<高等代数与解析几何(上)>高等教育出版社 施普林格出版社356页
小结论：规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵
证明：设
，
是V上的两组规范正交基
是矩阵T的列向量
即T是正交矩阵
正交矩阵的一些特征
（1）特征值
设特征值
对应的特征向量为
则
，
则在实数域中
（2）行列式
由（2）可知
即可得到
（3）可逆性
对于正交矩阵来说，它是可逆的。
（4）实对称正交矩阵的正定性
对于单位矩阵E，它是正定的，对于-E，它是负定的，所以是不定的。
（5）迹
由条件（3）得
（6）对角化
正交矩阵属于正规矩阵（见附录1），则在实数域上正交矩阵可准对角化，但不一定可对角化。
若其特征值只是
，则在A实数域上可对角化，若其还有其他复数的特征值，则A不可对角化。
正交矩阵与运算的关系
若矩阵A，B均为正交矩阵，则
仍是正交矩阵，而正交矩阵的和A+B，A-B，A的数乘kA(
)不一定正交。（
为A的伴随矩阵）
证明：
A，B正交，由（2）知
，
，
则
，
，
而
则若kA正交，需要
,即
时，kA正交。结论得证
正交矩阵与特殊矩阵的关系
（1）三角矩阵
①若三角矩阵A是正交矩阵
， 
且
即A是对角矩阵，形如
②若A是一个n阶实矩阵，且
，则
ⅰ）A可分解为A=TQ其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵；
ⅱ）A可分解为A=TQ其中T是正交矩阵，Q是下三角矩阵；
ⅲ）A可分解为A=QT其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵；
ⅳ）A可分解为A=QT其中T是正交矩阵，Q是下三角矩阵。
证明：ⅰ）设A=（）
是线性无关列向量，对其施行规范正交化，得
且
则有()=()R R=
是上三角矩阵
因为是规范正交基,
故
由(3)知T=（）为正交矩阵
R是上三角矩阵 
也是上三角矩阵 令
则A=TQ 其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵。
ⅱ) A实可逆 
也是实可逆矩阵
B=TR T是正交矩阵，R是上三角矩阵
则
令
，
是上三角矩阵，则
是下三角矩阵，
即Q是下三角矩阵 T是正交矩阵 A=TQ
ⅲ) 令
则B=SR S是正交矩阵，R是上三角矩阵
可知是
正交矩阵，是上三角矩阵
令
， 可得A=QT 其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵
同理可得ⅳ
③若A为特征值全是实数的n阶实矩阵，则存在正交矩阵T，使为
三角形矩阵.
证明: A为特征值全是实数的n阶实矩阵
存在可逆矩阵B,使
为上三角矩阵(见附录2)
设 
则
S为上三角矩阵
由前一题已证: 可逆矩阵 B可分解为B=QP其中Q是正交矩阵，P是上三角矩阵
则
则
是上三角矩阵
令T=Q 则可得结论,存在正交矩阵T，使为三角形矩阵
（2）对角矩阵
①对于任意的实对称矩阵
，一定存在正交矩阵
，使得
是一个对角矩阵，而且还可以使得
，即
证明见<高等代数与解析几何(下)>高等教育出版社 施普林格出版社110页
② 特征值全是实数的正交矩阵必是对称矩阵
证明: 若矩阵A特征值全是实数,前面已证,存在正交矩阵T，
使
, B为三角形矩阵.
A,T均是正交矩阵,则可知, B为正交矩阵
B既为三角形矩阵,又为正交矩阵,则有结论B是对角矩阵
于是 
是对称矩阵
（3）反衬矩阵
若A是实反衬矩阵，则
是一个正交矩阵
证明：
由于A是实反衬矩阵，所以-1不是A的特征值（见附录3）
于是
即
因此E+A 可逆
（
）
所以B是正交矩阵
整系数域上的正交矩阵
若矩阵为整系数域上的正交矩阵，有条件（3）知
中有且仅有一个项非0，则非零项
即
同理，每列也有且仅有一个项非0，这样，
矩阵A每行每列有且仅有一个非零元，且非零元为1或-1，
不难验证这样的矩阵都是正交矩阵。
有理数域更为复杂，暂不讨论。
附录：
（1）矩阵A满足 
，则A为正规矩阵
A为正交矩阵，则A为正规矩阵，有以下推论：
存在实正交矩阵
，使得
，
其中每个
，每个
形如
见《特殊矩阵》清华大学出版社 陈景良，陈向晖著 第152页
（2）特征值全是实数的n阶实矩阵，存在可逆矩阵B,使为上三角矩阵
见《高等代数与解析几何(下)》高等教育出版社 施普林格出版社 第73页
（3）实反衬矩阵的特征值是0或纯虚数。
见《高等代数与解析几何(下)》高等教育出版社 施普林格出版社 第117页