实对称矩阵半正定判定性质 数学系04级基地班

设A∈M_n（R）是实对称矩阵，则下列条件等价： 刘园之10041520110

（1） A是半正定的

（2） A的正惯性指数p等于它的秩r

（3） 存在可逆矩阵T∈GL（n，R），使得T^TAT= E_r 0

0 0

（4） 存在实矩阵S∈M_n（R），使得A=S^TS

（5） A的所有主子式都大于或等于0

证明：要证明上述条件等价，证明（1）（2），（2）（3），（3）（4），（4）（5），（5）（1）即可

（1）（2）:

设A为某双线性函数f的度量矩阵

∵A为实对称矩阵

∴f为对称双线性函数，且为半正定

∴存在向量空间V的一个基ε₁，…ε_n 使得对于V中的任意向量α，β，双线性函数f有以下典范形式：

f（α，β）=x₁y₁+┈+x_py_p-x_p+1y_p+1-┈-x_ry_r

若p<r, f(ε_r, ε_r)=-1<0,与f为半正定矛盾

∴p=r

（2）（3）：

∵p=r

∴双线性函数f有以下典范形式

f（α，β）=x₁y₁+┈+x_py_p

即存在可逆矩阵 T∈GL（n，R），使得：T^TAT= E_r 0

0 0

（3）（4）：

∵存在可逆矩阵 T∈GL（n，R），使得：T^TAT= E_r 0

0 0

∴A=T^-T E_r 0 T^-1

0 0

设T^-1= T₁ T₂

T₃ T₄

∴A= T₁ 0 T₁ T₂ = T₁² T₁ T₂

T₂ 0 T₃ T₄ T₂ T₁ T₂²

= T₁ 0 T₁ T₂

T₂ 0 0 0

令S= T₁ T₂ ∈M_n（R）

0 0

∴存在实矩阵S∈M_n（R），使得A=S^TS

（4）（5）：

∵T^TAT= E_r 0

0 0

∴ ∣T^TAT∣=∣T^T∣∣A∣∣T∣=∣A∣∣T∣²= E_r 0

0 0

∴∣A∣≥0 ①

设A= E_k C_1k C_2k ,其中A_k=A(i_1,…i_k; i_1,…i_k)

C_1k^T A_k B_k

C_2k^T B_k^T D_k

特殊地，若A_k为顺序主子式，则A= A_k B_k

B_k^T D_k

取相应的分块列矩阵X= 0

x_k

0

∴由于A为半正定矩阵

∴X^TAX=x_k^TA_kx_k≥0

由于x_k的任意性可知对称矩阵A_k是半正定的

则有①知：∣A_k∣≥0，∣A_k∣为A的所有主子式

（5）（1）：

对n作数学归纳法，当n=1时，∣A∣=a₁₁≥0

∴对任意x=（x₁）≠0∈M₁（R）有，x^TAx= a₁₁x₁²≥0

∴A是半正定的

假设结论对于n-1阶实对称矩阵成立

对于主子式大于等于0的对称矩阵A ∈M_n（R）,作分块为：

A= A_n-1 B

B^T a_nn

由于A_n-1的主子式都是A的主子式，因此都大于等于0

∴A_n-1半正定

∴存在S∈GL（n-1,R）,使得S^T A_n-1S= E_r 0 =C

0 0

令T₁= S 0

0 1

得：T₁^TA T₁= S^T 0 A_n-1 B S 0

0 1 B^T a_nn 0 1

= C S^TB

B^TS a_nn

令T₂= C - S^TB

0 1

即得：T₂^TT₁^TA T₁ T₂= C 0 C S^TB C - S^TB

- B^TS 1 B^TS a_nn 0 1

= C 0

0 a_nn- B^TS S^TB

令T=T₁T₂, a= a_nn- B^TS S^TB

∴T^TAT= C 0 = E_r

0 a 0

a

∵∣A∣∣T∣²= E_r 0 a≥0

0 0

∴a≥0，A为半正定，综上所述，上述5个条件是的等价的。