有关正交矩阵性质的探讨

姓名：黎明江 学号：10041520136 指导老师：林磊

在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：

设A是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有AA＝。

正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。

l 定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。
根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。
由此可得：

l 定义二：满足的方阵为正交矩阵。

现在探讨正交矩阵的性质：

一、正交矩阵与矩阵运算的关系：

设，即有。

1) 正交矩阵的和：令
则，
不是正交矩阵。

2) 正交矩阵的积：
∴为正交矩阵。

3) 正交矩阵的逆和转置：由,
故均为正交矩阵。

4) 正交矩阵的伴随:
，
，
∴
为正交矩阵。

二、正交矩阵的特征：

行列式：由。

其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。

正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下：

设A()＝，则(A(),A())

且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。

正交矩阵显然是可逆的。

三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：

特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。证明如下：

设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。设是的任一特征值，是相应的特征向量。令。则是A的不变子空间：任取，则。所以A＝(A＝(AA)＝()=0。因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。 A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。将单位化即得得一个新的规范正交基。而A在这一基下的矩阵实对角阵。设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵，

则 。

由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。

任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。

只要利用规范正交化的方法就能证得。事实上，规范正交化得到的基相对原来的基的基变换矩阵即为三角矩阵。

对任意实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得是一个对角矩阵。这是书上的定理4.5。由此还有：若为阶实可逆方阵，也存在正交矩阵，使，且。