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数学系04级1班 黄龙孙 学号 10041510126

指导老师 林磊

一、求

在高中时，已经知道，还知道，那是多少呢？

①要回答这个问题，就必须追本逆源，搞清楚和是怎么得出来的，看下面的推导过程。

首先构造一个等式

有了这个等式，不难想象，只要做叠加就可以了。

………………………

左右两边分别叠加，整理，得

也即

②那么该如何求呢？

只要对上面的推导方法做适当的次数变化就可以了，首先也可以构造一个等式

同样，对进行取值，即

当时，

当时，

………………………

用代入时，

同理，把这些式子左右两边分别相加，利用，整理，得

③依此类推，不难发现，的求解过程如下：

构造等式

对进行取值

当时，

当时，

………………………

用代入时，

同理，把这些式子左右两边分别相加，利用和，整理，得

④然后，我想，有没有别的方法可以求出的值呢？答案是肯定的，我可以用现有的知识求的值，方法如下：

首先，在中，记，，， 。很明显,,,,是的一个基，而,,,,也是的一个基，并且有

（*）

然后，我想可不可以用这个式子求呢？

首先，要看是否可以很快求出来？

对于，有

当时，

当时，

因此， 。我发现这个求解过程非常简单，于是可以用下面的方法求。

利用（*），可以得到

再利用在中学时已经知道的、和，整理一下，便可得到

在求的过程中，我发现虽然第一种方法比较麻烦，但它毕竟没有用任何知识，只是简单的推理而已；第二种方法虽然简单，但它借助了和的结论。因此，两种方法各有所长。

二、两种方法证明柯西不等式。

柯西不等式：给定两组实数和，有，当且仅当时等号成立。

解法一：构造一个一元二次函数

⑴若全为0，则结论显然成立；

⑵若不全为0，则，为首项系数大于0的一元二次函数，并且，故的判别式，即

也即

很明显，当且仅当时等号成立。

解法二：利用柯西—布涅柯夫斯基不等式

设是实数域上的维线性空间，在上定义内积

其中，，，，

很明显，是一个欧几里得空间，因此满足柯西—布涅柯夫斯基不等式，即对任意两个向量，有

代入，，得

两边平方，得

当且仅当与线性相关时等号成立，即当时等号成立。

三、利用4种方法求的值。

方法一:相似法

如下图所示，在三角形中，，为的角平分线。设，则

即

因此

由于

即

解之，得

因此

由可得

方法二：三角公式法

构造恒等式

两边都化成关于的多项式，即

整理，得

解之，得

因此

方法三：构造法

构造函数，然后方程的根为

由于 且

因此在实数域上分解为

把在实数域上分解时,我们还可以用待定系数法，即设

又因为

比较和，可以得到

假设，则

再比较和，可得

因此

方法四：图形法

在中学时，老师曾教过我一种用直尺和圆规作正五边形的方法。作法如下：如右图所示，在圆中，作两边互相垂直的直径和，然后，作的中点，再以为圆心，为半径画弧，交于点，然后以为圆心，为半径画弧，交弧于点。这样，两点就是正五边形的相邻的两个顶点，再分别截取其他3个点，就得到了正五边形。

设圆为单位圆，即，从作图过程中可以知道，，，而，因此，从而

这种方法看上去似乎很简单，只要作一下图就可以了，其实不然，这种方法的依据是什么呢？还是前人的作图方法，但这方法以什么为依据呢？在我个人看来，应该是。因此，这种解法不能算是一种好解法，但当忘记的值时，倒可用这种方法算一下。