关于正交矩阵的一些讨论

数学系04级 胡昊康 10041510202 指导老师 林磊

在课本得学习中我们已经了解了正交矩阵的一般定义，下面总结一下正交矩阵的一些性质：

1、由定义可以知道，若为正定矩阵，则。

2、可逆。

3、，均可逆。

4、不同行（列）的向量之间是正交的；每一列（行）都是单位向量。

以上性质不作详细证明。

5、正交矩阵的迹：

正交矩阵的形式较复杂，因而它的迹也比较难判断。

在此仅对以下几种特殊的对角矩阵作一下归纳。

1) 第一类正交变换所对应的矩阵
。

2) 第二类正交变换所对应的矩阵
。

6、特征值：

设为正交变换的一个特征值，为对应于的特征向量，则有1

且2

1和2相乘，我们可以得到这样的等式，

化简得。

从而解得。

当为实数时，只能为或。

正交矩阵特征值只为或。

同时易证：

a) 奇数维欧几里德空间的第一类正交变换必以作为其特征值。

b) 偶数维欧几里德空间的第二类正交变换必以作为其特征值。

7、运算：

了解了正交矩阵的一些性质后，我们更关心它的运算，下面讨论两个正交矩阵相乘，相加（减）后的矩阵是否也是正交矩阵。

设为两个阶的正交矩阵，显然，也为正交矩阵，而则不一定为正交矩阵，例如：，，，不是正交矩阵。

8、正交矩阵与三角矩阵的关系：

正交矩阵和三角矩阵之间有着非常密切的联系。

首先，如果一个正交矩阵是一个三角矩阵的话，那么我们一定可以得到，它一定是对角矩阵，并且对角线上的元素必为或。

其次，对于任意的矩阵，且的话，那么一定可以唯一地分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积，且此上三角矩阵的对角线上元素均为正。

下面对第二个问题作简单的证明：

证明：是非退化矩阵，故的列向量线性无关。

将正交化得：

迭代化简得：

再将单位化得：

其中

，

其中是正交矩阵，是对角元为正的上三角矩阵。则是对角元为正的上三角矩阵。

得证。

9、利用正交矩阵的一些性质来判断矩阵的一些特性。

1) 设，如果存在实正交矩阵，使，则。

2) 设，如果存在实正交矩阵，使，那么，其中。

3) 设，如果存在实正交矩阵，使，其中或，，，则。

由于水平有限，暂时只做这些粗浅的讨论，希望以后能再补充。