矩阵大家庭中的“正”矩阵

数学系04级 陈雁 10041510238 指导老师 林磊

                                   

  在形形色色的矩阵集体中，有一些特殊的矩阵，他们的名字中都带有一个“正”字。他们是“正交矩阵”，“正定矩阵”，“正规矩阵”。那么这些矩阵到底有什么特殊的性质呢？就让我们一起来看看吧：

一．        正交矩阵

正交矩阵是酉矩阵的一个特例。那么在了解正交矩阵之前就让我们首先来了解一下什么叫酉矩阵：设U是n阶复矩阵,如果,则称U是一个酉矩阵，通常称为 Householder矩阵。

 

（其中 称为U的复共轭转置矩阵）。而说到酉矩阵，我们还可以自然地联想到一个相对于欧几里得空间的空间那就是酉空间。与欧几里得空间的区别在于定义的数域不同。酉空间的定义在复数域上的，相对的欧几里得空间是定义在实数域。酉空间V上的线性变换U如果满足(U,U)=()(对一切V),则称U是一个酉变换（正交变换在酉空间上的推广）. 维酉空间上的酉变换的全体（关于映射的复合）构成群，称为维酉变换群，记为U(n). 平行地，阶酉矩阵的全体（对于矩阵的乘法）构成群，称为阶酉群，也记为 U(n).而酉群又是李群的一个分支。

   在此基础上我们就可以引入正交矩阵并介绍它的一些性质于运算特点了：

正交矩阵就是酉矩阵的一个特例。了解了正交矩阵的一般定义后，下面让我们来总结一下正交矩阵的一些性质：

1、有定义可以知道，若为正定矩阵则。

2、，可逆。

3、，均可逆。

4、不同行（列）的向量之间是正交的；每一列（行）都是单位向量。

以上性质较为简单，在此不作详细证明。

5、正交矩阵的迹：

总体上看正交矩阵的形式较复杂，所以它的迹也比较难判断。

仅对以下几种特殊的对角矩阵作一下归纳。

1)        第一类正交变换所对应的矩阵
。

2)        第二类正交变换所对应的矩阵
。

6、特征值：

设为正交变换的一个特征值，为对应于的特征向量，则有1

且有2

1和2相乘，我们可以得到这样的等式，

化简得到。

从而可以解出。

当为实数时，只能取与。

正交矩阵特征值只为或。

同时易证得：

a)        奇数维欧几里德空间的第一类正交变换必以作为其特征值。

b)        偶数维欧几里德空间的第二类正交变换必以作为其特征值。

7、运算：

了解了正交矩阵的一些性质后，我们最关心的可能就是它的运算了，而关心两个正交矩阵相乘，相加（减）后的矩阵是否也是正交矩阵呢？让我们来看看吧。

设为两个阶的正交矩阵，则也为正交矩阵，而则不一定为正交矩阵。

8、正交矩阵与三角矩阵的关系：

我们不难看出正交矩阵和三角矩阵之间有着非常密切的关系。

首先，如果一个正交矩阵是一个三角矩阵的话，那么我们一定可以得到，它一定是对角矩阵，并且对角线上的元素必为或。

其次，对于任意的矩阵，且的话，那么一定可以唯一地分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积，且此上三角矩阵的对角线上元素均为正。

我们对第二个问题作简单的证明：

证明：是非退化矩阵，故的列向量线性无关。

将正交化得：

迭代化简得：

再将单位化得：

        其中

 

  其中是正交矩阵，是对角元为正的上三角矩阵。则是对角元为正的上三角矩阵。

  即证。

9、另外，我们可以利用正交矩阵的一些性质来判断一些矩阵的特性。

1)        设，如果存在实正交矩阵，使，则。

2)        设，如果存在实正交矩阵，使，那么，其中。

3)        设，如果存在实正交矩阵，使，其中或，，，则。

 

二．        正定矩阵

  正定矩阵是建立在实对称双线性函数或实对称矩阵的基础上的。

当一个实对称双线性函数或实对称矩阵满足正惯性指数等于向量空间的维数（即矩阵的阶数时）我们就说该矩阵是正定矩阵。判断一个矩阵是否是正定有以下方法：

1．            相合与某单位矩阵

2．            存在可逆的实矩阵，使得A=C，

3．            矩阵的所有顺序主子式全大于零

柯西不等式与正定矩阵的关系

柯西不等式与正定矩阵之间有什么关系呢？设是一个阶正定矩阵，则对任何向量与，定义

                                                 （**）

则可以证明由（**）式定义的一定是维向量间的内积。反之，对于维向量间的任意一种内积，一定存在一个阶正定矩阵，使得对任何向量和，可由（**）式来定义。因此，给定了一个阶正定矩阵，在维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式：

。

 

下面再介绍一些正定矩阵的定理

1．            单位矩阵E是正定矩阵

2．            若H，K是正定矩阵，则H+K，CK都是正定矩阵（C为正数）

3．            若H为正定矩阵，Q是可逆矩阵，则

三正规矩阵

在了解了上面两类“正”矩阵之后，让我们来看看他们中的另一个成员，那就是“正规矩阵”。那么什么叫做正规矩阵呢，他的“正规”性又表现在哪里呢？先让我们来看看它的定义：设U，如果U满足

U=U，那么就叫U为正规矩阵。如果U是定义在实数域上的那么称U为实正规矩阵。

H-阵反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.

那么正规矩阵具有什么样的性质呢？让我们来看看吧

1．            n阶正规矩阵有个n个线形无关的特征向量

2．            设U是一个正规矩阵，那么与U酉相似的矩阵也是U矩阵。（所谓的酉相似就是是一个酉矩阵，使得UA=B，而B就称为与U酉相似。

3．            如果U矩阵是一个正规矩阵，而且又是一个三角矩阵，那么U一定是对角矩阵。

另外，正规矩阵的其他的一些性质便是基于酉矩阵，正交矩阵，对角矩阵以及一些特殊的矩阵的。

   由于知识水平有限对于正规矩阵等了解不是很深刻，在此只做简单的描述。