《高等代数与解析几何》课程与教材介绍

　　从历史上看，代数与几何的发展从来就是互相联系、互相促进的。它们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”这两句话。第一句话是明显的事实，代数的发展确实可以帮助许多几何问题的解决。而后一句话更重要，甚至可以改为“代数要在几何中寻找直观”，以强调几何对代数发展的促进作用。有很多具体的实例支持这个观点。例如Grothendieck发展的概形理论就是一个典型的例子。“交换环”本来是一个纯代数的概念，但是如果把环中的素理想看成点，再建立适当的拓扑，就产生了“仿射概形”这个几何对象。这不但给抽象的环提供了几何直观，使得交换代数中原本抽象难解的结论有了十分自然的几何含义，而且又从几何直观的角度给交换代数提出了大量新的研究课题。类似地，像整数环这样一个纯代数的对象也可以被看成是一条代数曲线，使得Fermat方程的解可以被看成一个算术曲面，并具有到整数曲线上的一个纤维化。把复代数曲面的已经建立的结果和方法推广到算术曲面上去就形成了一个新的研究方向。这些例子都说明一旦抽象的代数概念找到了正确的几何直观，就能对它的发展提供新的动力甚至诞生新的研究领域。

基于这种认识，我们在代数与几何合并的试验中十分注意代数概念的几何含义的阐述。例如我们先讲3维空间的向量代数，使得学生对具体空间中的向量有一个感性的认识，其中又不失时机地引入n维向量空间的概念。学生对于从3维向高维的过渡是不难接受的。然后我们又从如何确定n个向量张成的平行多面体的（相对）有向体积出发引入行列式函数。这样既使学生对行列式的几何意义有深刻的印象，又使通常使用的行列式作为乘积项的交错和的定义显得十分自然。以后线性变换矩阵的行列式的几何意义也是顺理成章的事。而后者又使得矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积有了自然的几何解释。本着同样的原则，我们在定义矩阵运算之前先引入线性映射的概念，在建立了线性映射与矩阵的一一对应关系后，就可以利用线性映射的运算定义相应的矩阵的运算。这样的好处就是矩阵的运算性质可以与线性映射的运算性质同时建立，两者只需证其一。与此同时，矩阵的几何意义也蕴含其中了。为了加深学生对矩阵的直观理解，我们又用一匹浮雕马在不同矩阵的变换下的象使学生对不同类型的矩阵所代表的线性变换有了一个形象的理解。

在两课合并的试验中遇到的另一个问题是已有内容的增删问题。线性代数的内容比较稳定、系统，除了引入方法以及次序排列外，改动的余地不大。而解析几何的内容则比较芜杂，选择的余地较大。我们觉得空间直观能力的培养以及为多元微积分的需要作准备是解析几何的任务之一，因此立体图的画法以及曲面之间的相交及到坐标平面上的投影等内容应该保留，尽管有些内容不属于线性代数的范围，仍然不能舍弃。还有像多元多项式组的结式、消去法以及由此导出的平面几何定理的机械化证明理论也应作介绍。后者对于师范院校尤其有必要。未来的数学教师应该知道平面几何的命题是否成立是可以通过程式化的方法加以判断的，包括已经有了专门的软件来完成这个任务。当然在做加法的同时也要做减法。尽管作减法是多么令人痛苦的事，但是在面临课时减少的今天，减法是非做不可的。我们设想至少二次曲线的一些较深入的性质的研究就可以留给以后的经典几何（或高等几何）课去讲。

另一个体现时代特征的方面就是电脑的介入。我们应该让学生早一点接触数学软件。通过对数学软件的实际使用逐步体会到什么是电脑能做的以及什么是电脑不能做的事。在这门课中我们除了做一些演示外还要提出一些任务让学生自己探索解决。通过运用电脑加深对线性代数和几何学的理解。计算机作图还可以增加学生的几何直观理解。例如当用Maple画一个旋转抛物面时，如果用z=f(x,y)形式的方程，画出来的立体图上的网格是分别按x、y的参数值的变化生成的。这种网格的布局不能充分显示图形的特征。于是引入柱面坐标或球面坐标就显得十分自然的了。学生很有兴趣地寻找合适的参数表示法，使得画出的立体图更加漂亮。又如Maple的立体图提供了两个刻画视角的参数，改变这两个角度或者用鼠标拖动图形，就能从各个不同的角度观察曲面。当学生看到电脑如此能干，会十分兴奋。而我们老师正可以借助立体图的作法带动一系列解析几何知识的学习。同时我们让学生自己探索画立体图，使得三维的旋转与投影变换成了在实践中十分有用的知识点（这方面的尝试见另文）。平面几何定理的机械化证明也是一样，只有出现了快速的电脑以及合适的软件，才能引起学生的兴趣，实现数学教学的现代化。因此电脑不仅丰富了我们的教学手段，也推动我们对教学内容加以改革。

我们在编写教材时还有一个尝试就是把有些议论以小字注解的形式夹在正文中。这就使得作者有了一点自由度讲一些不太严格的话。例如在讲置换的时候就可以说明置换全体实际上构成一个群。在讲到可逆矩阵的时候又指出可逆矩阵的全体也构成群，就是一般线性群。用这样的方式我们在高等代数中就使学生接触到群环域的概念，为以后抽象代数打下了埋伏。由于这些议论与正文有明显的区别，一下子看不懂或理解不了也没有关系。对于有些概念就可以用不严格的说法指出它的实质。此外我们还介绍一些历史背景，尤其是我国古代数学家的贡献。这对增强数学教学中的人文主义观念，把数学活动看成人类文化中的一部分以及培养学生的爱国主义精神很有益处。我们觉得这是一块有待开垦的沃土。问题是要有好的想法。

　　我们想使本书适合不同层次的学生, 在教学中具有较大的选择余地, 因此把一些非基本的内容用打星号的形式放在每章的最后。这些内容不教不会影响后面的学习。而对于有可能继续深造的学生, 最好用三学期的时间学完全部内容。根据我们的实践经验，前两个学期每周6节课（其中2节习题课），可以把不带星号的内容教完，第3学期作为选修课，每周2节，把最后一章（若尔当典范形的应用）以及前面一些带星号的内容讲掉。最后一章也是本书的特色，这样安排能使较好的学生对若尔当典范形为什么重要有更进一步的理解，加深他们对初等因子、极小多项式的重要性的理解。

    本教材在编写与修改过程中周青教授、沈纯理教授和谈胜利教授多次参加讨论并提出宝贵意见。教育部高等学校数学与力学教学指导委员会主任委员姜伯驹教授关于数学教育改革所发表的意见是我们尝试把高等代数与解析几何合并成一门课的原动力。以后在教改试验与编写教材的过程中又不断得到他以及教学指导委员会的指导和鼓励。所以本书应被视为数学与力学教学指导委员会的工作成果之一。数学教育专家张奠宙教授对本书的编写也提供了具体的指导。本书的写作得到了教育部高等教育司国家理科人才培养基地创建名牌课程项目的资助。华东师范大学数学系也对本教材的编写和试用十分重视, 并从各方面给予支持。福建师范大学数学系辛林、吴健文、龚家骧、林新棋老师参加了本书初稿的试教, 并提出了宝贵的修改意见。本书的审稿人是北京大学数学学院代数与几何教研室的方新贵和刘连生先生, 他们在认真审读书稿后提出了不少中肯的修改意见。