您的位置:课外读物>>微分方程续

 


 

     19世纪下半叶,人们已经普遍认识到,大量的常微分方程是不能用初等积分法来求解的(尽管解是存在的),而来自其它学科(特别是天体力学)的一些实际问题所导出的微分方程的解的整体性质又急需要研究清楚,人们试图寻求通过考察微分方程本身就可以了解解的性态的方法。这就导致了常微分方程定性理论的产生和发展,该领域的开创性工作是庞和莱完成的。
     庞和莱的著名著作《微分方程所定义的积分曲线》(1881-1886,四篇论文)是定性理论的原创经典。他的思想是:由复域回到实域,由解析研究转至定性研究,由函数研究转至曲线的研究;由小范围转至大范围;由数值研究转至拓扑性质的研究;由定解转至曲线族。有兴趣的同学可阅读如下参考书目:

 

 

 

       《北京大学教材:常微分方程几何理论与分支问题》(作者张锦炎、冯贝叶)是微分方程续论经典教材。本学期我系傅显隆教授讲授的选修课程《动力系统初步》,选用该书为教材。本书主要内容包括:基本定理、二维系统的平衡点、二维系统的极限环、动力系统、振动方程与生态方程、n维系统的平衡点、多重奇点的分支、Hopf分支、从闭轨分支出极限环、同宿分支及异宿分支、高维问题、综合应用、柱面和环面上的动力系统及其应用。该书可作为理工科专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材,也可供相关的科学技术人员参考。

      《科学出版社出版教材:微分方程基本理论》(作者:赵爱斌、李美丽、韩茂安)作为大学常微分方程课的后续教材,系统地阐述了微分方程的基础理论、基本方法及一些应用。作者除了介绍常微分方程理论和应用中的最核心部分内容,如边值问题与Sturm比较理论、 稳定性理论中的Lyapunov第二方法、线性系统稳定性判别、稳定性理论中的比较定理,以及定性理论中的自治系统、奇点理论、极限环理论和动力系统外,还着重介绍了许多理论和应用学科中都会用到或涉及到的分支理论基本内容与方法及半群理论:发展方程基本理论等。该书的特点是证明详细完整,作为理工科专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材都是不错的选择。

 

       《科学版研究生教学丛书:常微分方程定性与稳定性方法 (第2版) 》(作者:马知恩、周义仓)是为应用数学专业的硕士生和高年级本科生所编写的一本教材。刘兴波教授用该书作为教材为我系本科生开过选修课《动力系统初步》,也为研究生开过必修课《常微分方程续论》。本书主要内容包括定性理论、稳定性理论和分支理论三个部分。内容着眼于应用的需要,取材精练,注意概念实质的揭示、定理思路的阐述、应用方法的介绍和实际例子的分析,并配合内容引入了计算机软件,每章后附有习题。《常微分方程定性与稳定性方法》可作为理工科专业研究生的教材和高年级本科生的选修课教材,也可以供相关的科学技术人员作为参考书目。

 

      《Ordinary Differential Equations》(Author:Arnol'd, V. I.)是一本经典的英文教材,作者并非单单给读者特定的微分方程的解法,而是以更深的几何观点解释常微分方程的理论,特别对书中的每个例子都配有相图。作者以几何观点讲解,自然内容更加直观,多处的证明更多的依赖数学直觉而不是冗长的公理和证明的堆砌,且第一章第一节就以丰富的例子介绍了常微分方程与现实中的一些现象,然后引入几何概念阐明常微分方程的几何性质。在第二章先陈述基本定理,以此为出发来解决常微分方程的各种问题,随即通过几何还讲解了最简单的偏微分方程的解法。第三章介绍了线性系统且举了不少直观的物理例子。第四章才回到基本定理的证明。第五章简单介绍了基本的微分流形。

 

      《北京理工大学出版的教材:常微分方程与动力系统概论(修订版)》(作者:贺小明,彭名书)侧重从应用的角度出发介绍常微分方程和动力系统的基本理论和方法,力求概念清晰,理论有据,方法实用,并将这些方法和微分方程建模、图像分析结合起来。本书首先简要介绍常微分方程一些基本理论和方法,为后面学习动力系统理论做铺垫;然后介绍了线性系统、自治系统中的非线性现象等动力系统的基本理论及应用,把常微分方程理论与动力系统的知识有机地融为一体。书中有大量的例题、习题,并辅以相图分析,图文并茂,便于读者理解。本书取材适当,难易适度,是一本很好的学习动力系统的入门书。该书可作为高等学校数学系高年级及研究生教材或教学参考书。